Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
.
Passo 1
Queremos provar a identidade
usando apenas as propriedades de anel (associatividade e comutatividade da adição e da multiplicação, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e distributividade).
Passo 2
Aplicamos a distributiva de
sobre
ao produto à direita:
Justificativa: distributividade da multiplicação em relação à adição.
Passo 3
Expandimos cada termo ainda usando distributividade:
Passo 4
Reescrevemos cada produto simplificando potências e sinais, usando associatividade e comutatividade da multiplicação e definição de inverso aditivo:
onde em
usamos comutatividade de
.
Passo 5
Somando todos os termos obtidos:
Agrupamos termos que se anulam:
Justificativa: comutatividade de
e inverso aditivo.
Passo 6
Restam apenas
onde usamos que
(neutro aditivo). Isso mostra que