Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
x^3+y^3=(x+y)(x^2-x y+y^2).

Passo 1

Queremos provar a identidade
x^3+y^3=(x+y)l(x^2-x y+y^2r),
usando apenas as propriedades de anel (associatividade e comutatividade da adição e da multiplicação, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e distributividade).

Passo 2

Aplicamos a distributiva de cdot sobre + ao produto à direita:
(x+y)l(x^2-x y+y^2r) =(x+y)x^2+(x+y)(-x y)+(x+y)y^2
Justificativa: distributividade da multiplicação em relação à adição.

Passo 3

Expandimos cada termo ainda usando distributividade:
(x+y)x^2 =x,x^2+y,x^2,
(x+y)(-x y) =xcdot(-x y)+ycdot(-x y),
(x+y)y^2 =x,y^2+y,y^2

Passo 4

Reescrevemos cada produto simplificando potências e sinais, usando associatividade e comutatividade da multiplicação e definição de inverso aditivo:
x,x^2=x^3, y,y^2=y^3,
xcdot(-x y)=-l(xcdot x yr)=-x^2y, ycdot(-x y)=-l(ycdot x yr)=-x y^2,
onde em ,ycdot x y = x y^2 usamos comutatividade de cdot.

Passo 5

Somando todos os termos obtidos:
x^3+y x^2-x^2y -x y^2+x y^2+y^3
Agrupamos termos que se anulam:
y x^2-x^2y=0(pois y x^2=x^2y) e -x y^2+x y^2=0
Justificativa: comutatividade de cdot e inverso aditivo.

Passo 6

Restam apenas
x^3+0+0+y^3=x^3+y^3,
onde usamos que a+0=a (neutro aditivo). Isso mostra que
(x+y)l(x^2-x y+y^2r)=x^3+y^3

Resposta

x^3+y^3=(x+y)l(x^2-x y+y^2r)

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