Resolva as equações diferenciais dadas:
cos x d x+(1+2y) sen x d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
cos x , dx + (1 + 2y) sin x , dy = 0
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
O que vamos precisar: Saber identificar se a equação é exata, encontrar um fator integrante se não for, e então resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Onde:
M(x, y) = cos x
N(x, y) = 1 + 2y times sin x

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 0
partial Npartial x = cos x (1 + 2y)
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação original e a torne exata. Vamos supor que o fator integrante dependa apenas de y, ou seja, mu(y).
Para encontrar mu(y), usamos a condição:
dmudy = mu (1 + 2y)

Passo 5

Resolvendo essa equação diferencial para mu(y):
dmudy = mu (1 + 2y)
Podemos separar as variáveis:
dmumu = (1 + 2y) dy
Integrando ambos os lados:
ln mu = y + 2 ln y + C
Exponentiando para resolver para mu:
mu = e^y cdot y^2 cdot e^C = C y^2 e^y
Podemos considerar C = 1 para simplificar:
mu(y) = y^2 e^y

Passo 6

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante mu(y):
y^2 e^y cos x , dx + y^2 e^y (1 + 2y) sin x , dy = 0
Simplificando o termo de dy:
y^2 e^y (1 + 2y) = y^2 e^y + 2 y e^y
Portanto, a equação fica:
y^2 e^y cos x , dx + (y^2 e^y + 2 y e^y) sin x , dy = 0

Passo 7

Agora, verificamos se a nova equação é exata. Calculamos as derivadas parciais novamente:
partialpartial y ( y^2 e^y cos x ) = (2 y e^y + y^2 e^y) cos x
partialpartial x ( (y^2 e^y + 2 y e^y) sin x ) = (y^2 e^y + 2 y e^y) cos x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação agora é exata.

Passo 8

Para resolver a equação exata, encontramos uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Phi(x, y)
Integrando em relação a partial Phipartial x = y^2 e^y cos x :
x

Passo 9

Agora, encontramos $ h(y) $ derivando $ \Phi $ em relação a h(y) e igualando a $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = (y^{2} e^{y} + 2 y e^{y}) \sin x $:
Phi
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, então $ h(y) $ é uma constante, que podemos chamar de $ C $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 e^y sin x = C

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