Resolva as equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
O que vamos precisar: Saber identificar se a equação é exata, encontrar um fator integrante se não for, e então resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação original e a torne exata. Vamos supor que o fator integrante dependa apenas de
, ou seja,
.
Para encontrar
, usamos a condição:
Passo 5
Resolvendo essa equação diferencial para
:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando para resolver para
:
Podemos considerar
para simplificar:
Passo 6
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o termo de
:
Portanto, a equação fica:
Passo 7
Agora, verificamos se a nova equação é exata. Calculamos as derivadas parciais novamente:
Como
, a equação agora é exata.
Passo 8
Para resolver a equação exata, encontramos uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Agora, encontramos $ h(y) $ derivando $ \Phi $ em relação a
e igualando a $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = (y^{2} e^{y} + 2 y e^{y}) \sin x $:
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, então $ h(y) $ é uma constante, que podemos chamar de $ C $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: