Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
x^3-y^3=(x-y)(x^2+x y+y^2).

Passo 1

O enunciado pede fatorar a diferença de cubos ,x^3 - y^3 usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação (associativa, comutativa, distributiva, elemento neutro e inverso aditivo). Vamos mostrar que
x^3 - y^3 = (x - y)l(x^2 + xy + y^2r)

Passo 2

Reescrevemos a subtração como adição do inverso aditivo e aplicamos a distributiva:
(x - y)(x^2 + xy + y^2) =l(x + (-y)r)(x^2 + xy + y^2) (definição de subtração) çãçã
l(x + (-y)r)(x^2 + xy + y^2) = x(x^2 + xy + y^2) + (-y)(x^2 + xy + y^2) (distributiva)

Passo 3

Distribuímos em cada parcela:
x(x^2 + xy + y^2) = xcdot x^2 + xcdot(xy) + xcdot y^2,
(-y)(x^2 + xy + y^2) = (-y)cdot x^2 + (-y)cdot(xy) + (-y)cdot y^2 (distributiva)

Passo 4

Pela comutativa da multiplicação e definição de potência, temos
xcdot x^2 = x^3, xcdot(xy)=x^2y, xcdot y^2=xy^2,
(-y)cdot x^2=-x^2y, (-y)cdot(xy)=-xy^2,(-y)cdot y^2=-y^3

Passo 5

Somando todos os termos e usando a associativa da adição:
x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3
Agrupando termos inversos e eliminando-os pelo elemento neutro da adição ( x^2y - x^2y=0, xy^2 - xy^2=0), resta
x^3 - y^3

Passo 6

Concluímos que a expansão de (x - y)(x^2 + xy + y^2) via as propriedades acima produz exatamente x^3 - y^3.

Resposta

x^3 - y^3 = (x - y)l(x^2 + xy + y^2r)

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