Encontre o domínio, pontos de corte com os eixos
e
e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede: domínio, pontos de corte com os eixos
e
, e esboço do gráfico. Vamos usar noções de função racional: identificar onde o denominador anula (para o domínio e assíntota vertical), zeros do numerador (para corte em
), valor em
(para corte em
) e comportamento assintótico (para assíntotas).
Passo 2
Para achar o domínio precisamos garantir que o denominador não zere. O denominador é
, então
Logo o domínio é
Passo 3
Corte com o eixo
ocorre quando
, ou seja numerador zero:
Como
, esse ponto está no domínio. Então o corte é
.
Corte com o eixo
é dado por
, então
logo o ponto é
.
Passo 4
Assíntotas:
- Vertical em
( denominador zero). - Horizontal vem do limite quando
. Como numerador e denominador têm mesmo grau, a assíntota é
Passo 5
Reescrever para entender o comportamento em cada ramo:
- Para
, implica , logo . Conforme , e ; conforme , e . - Para
, implica , logo . Conforme , ; conforme , .
Esse comportamento gera dois ramos hiperbólicos: um acima de
para
, e outro abaixo de
para
, cortando o eixo
em
no ramo esquerdo.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Trace o eixo
e . - Marque a assíntota vertical
(linha pontilhada vertical) e a assíntota horizontal (linha pontilhada horizontal). - Marque os pontos
e . - No intervalo
, faça o ramo que sai de quando , desce passando por , vai até quando . - No intervalo
, faça o ramo que sai de em , desce passando por , e se aproxima de quando .
Resposta
Domínio:
Corte com :
Corte com :
Assíntotas: e
Gráfico: hipérbole com ramos descritos acima.
Corte com
Corte com
Assíntotas:
Gráfico: hipérbole com ramos descritos acima.