Encontre o domínio, pontos de corte com os eixos X e Y e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x+3x+1

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=x+3x+1
e pede: domínio, pontos de corte com os eixos X e Y, e esboço do gráfico. Vamos usar noções de função racional: identificar onde o denominador anula (para o domínio e assíntota vertical), zeros do numerador (para corte em X), valor em x=0 (para corte em Y) e comportamento assintótico (para assíntotas).

Passo 2

Para achar o domínio precisamos garantir que o denominador não zere. O denominador é x+1, então
x+1 neq 0 Longrightarrow x neq -1
Logo o domínio é
(-infty,-1)cup(-1,infty)

Passo 3

Corte com o eixo X ocorre quando f(x)=0, ou seja numerador zero:
x+3=0 Longrightarrow x=-3
Como -3neq -1, esse ponto está no domínio. Então o corte é (-3,0).
Corte com o eixo Y é dado por x=0, então
f(0)=0+30+1=3,
logo o ponto é (0,3).

Passo 4

Assíntotas:
  1. Vertical em x=-1 ( denominador zero).
  2. Horizontal vem do limite quando xtopminfty. Como numerador e denominador têm mesmo grau, a assíntota é
y=coeficiente de xcoeficiente de x =1

Passo 5

Reescrever para entender o comportamento em cada ramo:
f(x)=x+3x+1 =1+2x+1
  • Para x>-1, x+1>0 implica tfrac2x+1>0, logo f(x)>1. Conforme xto-1^+, tfrac2x+1to+infty e f(x)to+infty; conforme xto+infty, tfrac2x+1to0^+ e f(x)to1^+.
  • Para x<-1, x+1<0 implica tfrac2x+1<0, logo f(x)<1. Conforme xto-1^-, f(x)to-infty; conforme xto-infty, f(x)to1^-.
Esse comportamento gera dois ramos hiperbólicos: um acima de y=1 para x>-1, e outro abaixo de y=1 para x<-1, cortando o eixo X em (-3,0) no ramo esquerdo.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Trace o eixo X e Y.
  • Marque a assíntota vertical x=-1 (linha pontilhada vertical) e a assíntota horizontal y=1 (linha pontilhada horizontal).
  • Marque os pontos (-3,0) e (0,3).
  • No intervalo x<-1, faça o ramo que sai de yto1^- quando xto-infty, desce passando por (-3,0), vai até yto-infty quando xto-1^-.
  • No intervalo x>-1, faça o ramo que sai de yto+infty em xto-1^+, desce passando por (0,3), e se aproxima de y=1 quando xto+infty.

Resposta

Domínio: (-infty,-1)cup(-1,infty)
Corte com X: (-3,0)
Corte com Y: (0,3)
Assíntotas: x=-1 e y=1
Gráfico: hipérbole com ramos descritos acima.

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