Encontre o domínio, pontos de corte com os eixos X e Y e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(t)=2 t+t^2

Passo 1

O enunciado pede para a função quadrática f(t)=2t+t^2 determinarmos o domínio, os pontos de corte com os eixos X e Y e fazermos um esboço do gráfico. Vamos usar o conhecimento de funções polinomiais de segundo grau: domínio natural, raízes (zeros), vértice e concavidade.

Passo 2

Para qualquer polinômio de coeficientes reais, o domínio é todo o conjunto dos números reais. Logo
Domínio=R í

Passo 3

Os cortes com o eixo X são as soluções de f(t)=0. Resolvendo
t^2+2t=0 Longrightarrow t(t+2)=0
temos t=0 e t=-2. Assim os pontos são (0,0) e (-2,0).
O corte com o eixo Y é dado por t=0, ou seja
f(0)=0,
logo o ponto é (0,0). Note que ele coincide com um dos cortes em X.

Passo 4

Para esboçar bem a parábola, achamos também o vértice. Na forma padrão f(t)=t^2+2t, o eixo de simetria é
tv=-b2a=-22cdot1=-1
O valor mínimo é
f(-1)=(-1)^2+2(-1)=1-2=-1
Portanto o vértice é (-1,-1) e a concavidade é para cima (coeficiente de t^2 positivo).

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Parâbola voltada para cima.
  • Vértice em (-1,-1).
  • Raízes em (-2,0) e (0,0).
  • Eixo de simetria a reta t=-1.
    Marque esses pontos e desenhe a curva suave passando por eles.

Resposta

Domínio: R.
Corte com X: (-2,0) e (0,0).
Corte com Y: (0,0).
Vértice: (-1,-1).
Gráfico: parábola de concavidade para cima com eixo de simetria t=-1.

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