Encontre o domínio, pontos de corte com os eixos X e Y e esboce o gráfico das seguintes funções:
h(x)=4-x^22-x

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
h(x)=4 - x^22 - x
e pede o domínio, os pontos de corte com os eixos X e Y e um esboço do gráfico. Para isso vamos usar: (i) condição de existência de uma função racional (denominador não nulo), (ii) solução de h(x)=0 e de h(0), (iii) fatoração e cancelamento para achar a forma simplificada e identificar a descontinuidade removível, e (iv) traçar a reta resultante com o ponto isolado.

Passo 2

Determinar o domínio exige que o denominador seja diferente de zero:
2 - x neq 0 Longrightarrow x neq 2
Logo o domínio é
,xinRmid xneq 2 = (-infty,2)cup(2,infty)

Passo 3

Para os cortes com os eixos:
– Corte com o eixo X (zero da função) vem de
h(x)=0 Longrightarrow 4 - x^2=0 Longrightarrow x=pm2
Como x=2 não pertence ao domínio, sobra x=-2. Assim há corte em (-2,0).
– Corte com o eixo Y é h(0):
h(0)=4-02-0=42=2,
logo o ponto (0,2).

Passo 4

Fatorando o numerador:
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x),
então para xneq2 temos
h(x) =(2 - x)(2 + x)2 - x =2 + x
Isso mostra que o gráfico é a reta y = x + 2 com uma descontinuidade removível em x=2. O valor “natural” em x=2 seria y=4, mas ali a função não está definida, gerando um ponto isolado (buraco) em (2,4).

Resposta

Domínio: (-infty,2)cup(2,infty)
Corte com X: (-2,0)
Corte com Y: (0,2)
Gráfico: reta y=x+2 para todo xneq2, com ponto isolado em (2,4).

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