Encontre o domínio das seguintes funções:
(10 pts) f(x)=ln (x)+tg^-1(raizx)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio da função f(x) = ln(x) + tg^-1(raizx) . Isso significa que queremos descobrir todos os valores de x para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e funções trigonométricas inversas, especificamente o logaritmo natural e a tangente inversa. Precisamos garantir que ambos os componentes da função estejam bem definidos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte do logaritmo natural, ln(x) . Sabemos que o logaritmo natural só está definido para números positivos, ou seja, x > 0 . Se x for zero ou negativo, ln(x) não existe.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda parte da função, tg^-1(raizx) . A tangente inversa, ou arctan, está definida para todos os números reais, não importando se o argumento é positivo ou negativo. Porém, temos raizx dentro da tangente inversa.

Passo 4

A raiz quadrada, raizx , também tem uma restrição importante: ela só está definida para x >= 0 . Se x for negativo, raizx não existe nos números reais. Portanto, para a expressão tg^-1(raizx) estar definida, precisamos que x >= 0 .

Passo 5

Agora, juntando as duas restrições que encontramos:
  1. De ln(x) , temos que x > 0 .
  2. De raizx , temos que x >= 0 .
A restrição mais restritiva é x > 0 , já que x precisa ser positivo para o logaritmo natural estar definido.

Resposta

Portanto, o domínio da função f(x) = ln(x) + tg^-1(raizx) é x > 0 , ou seja, (0, +infty) .

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