Encontre o domínio das seguintes funções:
(10 pts)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio da função
. Isso significa que queremos descobrir todos os valores de
para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e funções trigonométricas inversas, especificamente o logaritmo natural e a tangente inversa. Precisamos garantir que ambos os componentes da função estejam bem definidos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte do logaritmo natural,
. Sabemos que o logaritmo natural só está definido para números positivos, ou seja,
. Se
for zero ou negativo,
não existe.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda parte da função,
. A tangente inversa, ou arctan, está definida para todos os números reais, não importando se o argumento é positivo ou negativo. Porém, temos
dentro da tangente inversa.
Passo 4
A raiz quadrada,
, também tem uma restrição importante: ela só está definida para
. Se
for negativo,
não existe nos números reais. Portanto, para a expressão
estar definida, precisamos que
.
Passo 5
Agora, juntando as duas restrições que encontramos:
- De
, temos que . - De
, temos que .
A restrição mais restritiva é
, já que
precisa ser positivo para o logaritmo natural estar definido.
Resposta
Portanto, o domínio da função
é
, ou seja,
.