Suponha que 3 bolas sejam sorteadas, e quando cada bola é selecionada ela retorna pra urna. Considere uma urna consistindo em 5 bolas brancas e 8 bolas vermelhas. Considere Xi=1 caso a i-ésima bola selecionada seja branca e X,=O caso contrário. Dê a função de probabilidade conjunta de:
(a) Y 1, Y 2
(b) Y 1, Y 2, Y 3

Passo 1

O enunciado descreve três extrações com reposição de uma urna que contém 5 bolas brancas e 8 bolas vermelhas. Definimos variáveis indicadoras Yi tais que Yi=1 se a i-ésima bola for branca e Yi=0 caso contrário. Como há reposição, cada extração é independente, com probabilidade
P(Yi=1)=513
de obter uma bola branca.

Passo 2

Para uma única variável Yi, a distribuição é Bernoulli com parâmetro p=tfrac513:
P(Yi=1)=513, P(Yi=0)=813

Passo 3

Pela independência das extrações, a função de probabilidade conjunta de n variáveis (Y1,dots,Yn) é o produto das probabilidades marginais:
P(Y1=y1,dots,Yn=yn) =prodi=1^n P(Yi=yi) =prodi=1^n (513)^yi!(813)^1-yi

Passo 4

Especializando em n=2, para (Y1,Y2) obtemos
P(Y1=y1,Y2=y2) =(513)^y1+y2 (813)^2-(y1+y2), y1,y2in0,1

Passo 5

Especializando em n=3, para (Y1,Y2,Y3) obtemos
P(Y1=y1,Y2=y2,Y3=y3) =(513)^y1+y2+y3 (813)^3-(y1+y2+y3), y1,y2,y3in0,1

Resposta

(a)
P(Y1=y1,Y2=y2) =(513)^y1+y2 (813)^2-(y1+y2), y1,y2in0,1
(b)
P(Y1=y1,Y2=y2,Y3=y3) =(513)^y1+y2+y3 (813)^3-(y1+y2+y3), y1,y2,y3in0,1

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