Encontre o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar o domínio da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções logarítmicas, raízes quadradas e frações. Precisaremos identificar quais valores de
tornam a função válida, ou seja, onde todas as partes da função estão bem definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração, que é
. Uma fração não é definida quando o denominador é zero, então precisamos garantir que:
Passo 3
Agora, vamos analisar o logaritmo natural
. O logaritmo só está definido para números positivos, então temos que:
Passo 4
Em seguida, temos a raiz quadrada
. O que está dentro da raiz, chamado de argumento, deve ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real. Portanto:
Vamos resolver essa inequação:
Isso nos dá dois pontos críticos:
e
. Analisando os intervalos:
- Para
, digamos :
(válido)
- Para
, digamos :
(inválido)
- Para
, digamos :
(válido)
Portanto, o argumento da raiz quadrada é não negativo quando:
Passo 5
Agora, precisamos combinar todas as restrições que encontramos:
- Do denominador:
- Do logaritmo:
- Da raiz quadrada:
Observando essas condições, vemos que a única faixa que satisfaz todas as restrições é:
Porque embora
satisfaça a raiz quadrada, não satisfaz o logaritmo que exige
.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais maiores que zero, ou seja: