Encontre o domínio das seguintes funções:
f(x)=ln (x) raizx^2+5 xx

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar o domínio da função f(x) = ln(x) raizx^2 + 5xx . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções logarítmicas, raízes quadradas e frações. Precisaremos identificar quais valores de x tornam a função válida, ou seja, onde todas as partes da função estão bem definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração, que é x . Uma fração não é definida quando o denominador é zero, então precisamos garantir que:
x neq 0

Passo 3

Agora, vamos analisar o logaritmo natural ln(x) . O logaritmo só está definido para números positivos, então temos que:
x > 0

Passo 4

Em seguida, temos a raiz quadrada raizx^2 + 5x . O que está dentro da raiz, chamado de argumento, deve ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real. Portanto:
x^2 + 5x >= 0
Vamos resolver essa inequação:
x(x + 5) >= 0
Isso nos dá dois pontos críticos: x = 0 e x = -5 . Analisando os intervalos:
  • Para x < -5 , digamos x = -6 :
(-6)(-6 + 5) = (-6)(-1) = 6 >= 0
(válido)
  • Para -5 < x < 0 , digamos x = -1 :
(-1)(-1 + 5) = (-1)(4) = -4 < 0
(inválido)
  • Para x > 0 , digamos x = 1 :
(1)(1 + 5) = (1)(6) = 6 >= 0
(válido)
Portanto, o argumento da raiz quadrada é não negativo quando:
x <= -5 ou x >= 0

Passo 5

Agora, precisamos combinar todas as restrições que encontramos:
  1. Do denominador:
x neq 0
  1. Do logaritmo:
x > 0
  1. Da raiz quadrada:
x <= -5 ou x >= 0
Observando essas condições, vemos que a única faixa que satisfaz todas as restrições é:
x > 0
Porque embora x <= -5 satisfaça a raiz quadrada, não satisfaz o logaritmo que exige x > 0 .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais maiores que zero, ou seja:
x > 0

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