• Questão 14. Calcule as derivadas das funções abaixo
    h(x)=(4 x^2-x)^7 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x) = l(4x^2-xr)^7e^2x
Para resolver, vamos usar a regra do produto (pois há um produto de duas funções) e a regra da cadeia (para derivar uma potência de função composta).

Passo 2

Seja
f(x)=l(4x^2-xr)^7 e g(x)=e^2x
Pela regra do produto,
h'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)

Passo 3

Vamos achar f'(x) via regra da cadeia. Defina u(x)=4x^2-x, então
f(x)=l(u(x)r)^7,
u'(x)=ddx(4x^2-x)=8x-1,
e pela cadeia
f'(x)=7l(u(x)r)^6,u'(x) =7l(4x^2-xr)^6(8x-1)

Passo 4

Para g(x)=e^2x, usamos que
ddxe^2x=2e^2x,
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g'(x)=2e^2x

Passo 5

Substituindo em
h'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)
obtém-se
h'(x) =7l(4x^2-xr)^6(8x-1)e^2x +2l(4x^2-xr)^7e^2x
Fatorando o comum l(4x^2-xr)^6e^2x, temos
h'(x) =l(4x^2-xr)^6e^2xl[7(8x-1)+2(4x^2-x)r]
No colchete,
7(8x-1)+2(4x^2-x) =56x-7+8x^2-2x =8x^2+54x-7

Resposta

h'(x) =l(4x^2-xr)^6e^2xl(8x^2+54x-7r)

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