Encontre duas constantes reais e tais que , onde e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar duas constantes reais, e , tais que a combinação linear dos vetores e resulte no vetor . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações. Para isso, vamos montar um sistema que nos ajude a encontrar esses valores de e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada em termos dos componentes dos vetores:
Substituindo os vetores pelos seus componentes:
Passo 3
Agora, vamos distribuir e nas coordenadas dos vetores e :
Isso nos dá duas equações, uma para cada componente:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, da primeira equação:
- a + b = 2 Rightarrow b = a + 2
Agora, substituímos b na segunda equação:
2a + 2(a + 2) = 3
Simplificando:
2a + 2a + 4 = 3 Rightarrow 4a + 4 = 3
Subtraindo 4 de ambos os lados:
4a = -1 Rightarrow a = -14
Passo 5
Agora que encontramos a, substituímos na expressão de b: