Encontre duas constantes reais a e b tais que v=a u+b w, onde v=(2,3), u=(-1,2) e w=(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar duas constantes reais, a e b, tais que a combinação linear dos vetores u e w resulte no vetor v. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações. Para isso, vamos montar um sistema que nos ajude a encontrar esses valores de a e b.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada em termos dos componentes dos vetores:
v = a u + b w
Substituindo os vetores pelos seus componentes:
(2, 3) = a cdot (-1, 2) + b cdot (1, 2)

Passo 3

Agora, vamos distribuir a e b nas coordenadas dos vetores u e w:
(2, 3) = (-a, 2a) + (b, 2b)
Isso nos dá duas equações, uma para cada componente:
- a + b = 2 2a + 2b = 3

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, da primeira equação:
- a + b = 2 Rightarrow b = a + 2
Agora, substituímos b na segunda equação:
2a + 2(a + 2) = 3
Simplificando:
2a + 2a + 4 = 3 Rightarrow 4a + 4 = 3
Subtraindo 4 de ambos os lados:
4a = -1 Rightarrow a = -14

Passo 5

Agora que encontramos a, substituímos na expressão de b:
b = a + 2 = -14 + 2 = 74

Resposta

As constantes são a = -14 e b = 74.

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