Sejam u=(-1,2) e v=(5,2). Determine:
O produto escalar e o ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar entre os vetores u=(-1,2) e v=(5,2), e também descobrir o ângulo que eles formam. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como o produto escalar e a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é calculado assim:
u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2
Vamos aplicar isso aos nossos vetores.

Passo 3

Substituindo os valores das componentes dos vetores:
u cdot v = (-1) times 5 + 2 times 2
Calculando cada termo:
(-1) times 5 = -5
2 times 2 = 4

Passo 4

Agora, somamos os resultados:
u cdot v = -5 + 4 = -1
Então, o produto escalar entre u e v é -1.

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores. A fórmula para isso é:
theta = cos^-1 ( u cdot v|u| times |v| )
Onde:
  • u cdot v é o produto escalar que já calculamos.
  • |u| e |v| são as normas (ou tamanhos) dos vetores.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular as normas dos vetores. A norma de um vetor u = (u1, u2) é dada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2
Vamos calcular para u e v.

Passo 7

Para u = (-1, 2):
|u| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Para v = (5, 2):
|v| = raiz5^2 + 2^2 = raiz25 + 4 = raiz29

Passo 8

Agora, substituímos tudo na fórmula do ângulo:
theta = cos^-1 ( -1raiz5 times raiz29 )
Calculando o denominador:
raiz5 times raiz29 = raiz5 times 29 = raiz145
Então:
theta = cos^-1 ( -1raiz145 )

Passo 9

Agora, usamos uma calculadora para encontrar o valor do arco cosseno:
theta approx cos^-1 ( -112.0416 ) approx cos^-1(-0.0831) approx 95^circ

Resposta

O produto escalar entre u e v é -1, e o ângulo entre eles é aproximadamente 95^circ.

Exercícios relacionados