Sejam
e
. Determine:
O produto escalar e o ângulo entre
e
.
O produto escalar e o ângulo entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar entre os vetores
e
, e também descobrir o ângulo que eles formam. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como o produto escalar e a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores
e
é calculado assim:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores.
Passo 3
Substituindo os valores das componentes dos vetores:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, somamos os resultados:
Então, o produto escalar entre
e
é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores. A fórmula para isso é:
Onde:
-
é o produto escalar que já calculamos. -
e são as normas (ou tamanhos) dos vetores.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular as normas dos vetores. A norma de um vetor
é dada por:
Vamos calcular para
e
.
Passo 7
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, substituímos tudo na fórmula do ângulo:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 9
Agora, usamos uma calculadora para encontrar o valor do arco cosseno:
Resposta
O produto escalar entre
e
é
, e o ângulo entre eles é aproximadamente
.