Encontre duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário x=0.
(x^2+1) y^prime prime-6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial (x^2+1) y'' - 6 y = 0 em torno do ponto x=0. Vamos precisar usar o conhecimento sobre séries de potências e métodos para resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs) usando séries. Vamos montar uma solução passo a passo para encontrar essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências em torno de x=0:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Onde an são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas de y(x):
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos y(x) e y''(x) na equação diferencial:
(x^2+1) ( sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 ) - 6 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0

Passo 5

Vamos distribuir o (x^2+1) na série:
x^2 sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 + sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - 6 sumn=0^infty an x^n = 0
Simplificando os índices das somas para alinhá-las:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - 6 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 (x^n + x^n) ) - 6 an x^n ] = 0
sumn=0^infty [ 2(n+2)(n+1) an+2 - 6 an ] x^n = 0

Passo 7

Para que essa equação seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x^n devem ser iguais a zero:
2(n+2)(n+1) an+2 - 6 an = 0
Resolvendo para an+2:
an+2 = 62(n+2)(n+1) an = 3(n+2)(n+1) an

Passo 8

Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes an+2 em termos de an. Vamos determinar os primeiros coeficientes para entender a série.
Assumindo a0 e a1 como os coeficientes iniciais (geralmente determinados pelas condições iniciais, mas como são soluções gerais, eles permanecem como constantes):
Para n=0:
a2 = 32 cdot 1 a0 = 32 a0
Para n=1:
a3 = 33 cdot 2 a1 = 12 a1
Para n=2:
a4 = 34 cdot 3 a2 = 312 a2 = 14 a2 = 14 cdot 32 a0 = 38 a0
E assim por diante.

Passo 9

Observamos que os coeficientes alternam entre relacionamentos envolvendo a0 e a1. Isso indica que temos duas soluções independentes: uma associada a a0 (série par) e outra a a1 (série ímpar).
Portanto, as duas soluções são:
  1. Solução par ( a1 = 0):
y1(x) = a0 (1 + 32x^2 + 38x^4 + dots )
  1. Solução ímpar ( a0 = 0):
y2(x) = a1 (x + 12x^3 + dots )

Resposta

As duas séries de potências que são soluções da equação diferencial dada em torno de x=0 são:
y1(x) = a0 (1 + 32x^2 + 38x^4 + dots )
y2(x) = a1 (x + 12x^3 + dots )
Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias.

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