Encontre duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial
em torno do ponto
. Vamos precisar usar o conhecimento sobre séries de potências e métodos para resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs) usando séries. Vamos montar uma solução passo a passo para encontrar essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos distribuir o
na série:
Simplificando os índices das somas para alinhá-las:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes
em termos de
. Vamos determinar os primeiros coeficientes para entender a série.
Assumindo
e
como os coeficientes iniciais (geralmente determinados pelas condições iniciais, mas como são soluções gerais, eles permanecem como constantes):
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 9
Observamos que os coeficientes alternam entre relacionamentos envolvendo
e
. Isso indica que temos duas soluções independentes: uma associada a
(série par) e outra a
(série ímpar).
Portanto, as duas soluções são:
- Solução par (
):
- Solução ímpar (
):
Resposta
As duas séries de potências que são soluções da equação diferencial dada em torno de
são:
Onde
e
são constantes arbitrárias.