Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial , sendo dados e , onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação:
y'' + 4y = f(t)
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = -1 . A função f(t) é definida por partes:
f(t) = 1, & 0 <= t < 1 0, & t >= 1
Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm condições iniciais e funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de y'' é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) , onde Y(s) é a Transformada de Laplace de y(t) .
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' + 4Ly = Lf(t)
Substituindo as transformadas:
s^2 Y(s) - s cdot 0 - (-1) + 4Y(s) = Lf(t)
Simplificando:
s^2 Y(s) + 1 + 4Y(s) = Lf(t)
Passo 3
Agora, precisamos achar Lf(t) . A função f(t) é uma função por partes, mas podemos expressá-la usando a função degrau de Heaviside u(t) :
f(t) = 1 cdot u(t) - 1 cdot u(t - 1)
A Transformada de Laplace de u(t - a) é e^-a ss . Então:
Lf(t) = L1 - Lu(t - 1) = 1s - e^-ss
Passo 4
Voltando à equação transformada:
s^2 Y(s) + 4Y(s) + 1 = 1s - e^-ss
Vamos juntar os termos com Y(s) :
Y(s)(s^2 + 4) = 1s - e^-ss - 1
Mas notamos que o “+1” estava isolado, então na verdade:
s^2 Y(s) + 4Y(s) = 1s - e^-ss - 1
Fatorando Y(s) :
Y(s)(s^2 + 4) = 1 - e^-ss - 1
Então:
Y(s) = 1 - e^-ss - 1s^2 + 4
Simplificando:
Y(s) = 1 - e^-s - ss(s^2 + 4)
Passo 5
Agora, vamos separar Y(s) em frações simples para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Y(s) = 1s(s^2 + 4) - e^-ss(s^2 + 4) - 1s^2 + 4
Cada termo pode ser invertido individualmente.
Passo 6
Vamos inverter cada termo:
1s(s^2 + 4) :
Usamos frações parciais:
1s(s^2 + 4) = As + Bs + Cs^2 + 4
Resolvendo, encontramos:
A = 14, B = 0, C = -14
Então:
1s(s^2 + 4) = 14s - 14cdot1s^2 + 4
A inversa é:
14 cdot 1 - 14 cdot cos(2t)
e^-ss(s^2 + 4) :
Isso representa um atraso de 1 unidade de tempo. Então, a inversa será: