Seja z=7+i. Encontre P e Q em (z-i 3)^*+P(z-i 3)=Q z^*, P in R, Q in R.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=7+i e pede P,QinR tais que
(z - i3)^* + P,(z - i3) ;=; Q,z^*
Aqui vamos usar as propriedades de conjugação e depois igualar parte real e imaginária.

Passo 2

Calculamos primeiro
z - i3 = (7+i) - 3i = 7 - 2i
e seu conjugado
(z - i3)^* = (7 - 2i)^* = 7 + 2i
Também temos
z^* = (7+i)^* = 7 - i

Passo 3

Substituindo na equação original:
(z - i3)^* + P,(z - i3) = (7 + 2i) + P,(7 - 2i),
Q,z^* = Q,(7 - i) = 7Q - i,Q
Logo a igualdade vira
(7 + 2i) + P,(7 - 2i) ;=; 7Q - i,Q

Passo 4

Reagrupando em parte real e imaginária:
— Parte real:
7 + 7P = 7Q
— Parte imaginária:
2 - 2P = -,Q

Passo 5

Resolvendo o sistema
7 + 7P = 7Q, 2 - 2P = -Q,
da primeira equação vem
Q = P + 1
Substituindo na segunda:
2 - 2P = -(P+1) Longrightarrow 2 - 2P = -P -1 Longrightarrow P = 3
Então
Q = P + 1 = 4

Resposta

P=3, Q=4.

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