Encontre as três soluções da equação 4 z^2+4 z^*+1=0, z in C.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4,z^2 ;+;4,z^*;+;1;=;0
onde zinC e z^* é o conjugado de z. Para isso, vamos escrever
z = x + i y, z^* = x - i y,
com x,yinR, e separar partes real e imaginária.

Passo 2

Substituindo em ;4,z^2+4,z^*+1=0, temos
4(x+iy)^2 + 4(x-iy) + 1 =4l(x^2-y^2+2i x yr) + 4x -4i y +1
Agrupando real e imaginário:
l(4x^2-4y^2+4x+1r) ;+; il(8x y -4yr) ;=;0

Passo 3

Para um número complexo ser zero, suas partes real e imaginária devem ser zero. Da parte imaginária
8x y -4y = y,(8x-4)=0
tiramos dois casos:
  1. y=0.
  2. 8x-4=0, ou seja x=tfrac12.

Passo 4

Caso y=0: então z=xinR e a parte real exige
4x^2+4x+1=0
O discriminante é De<a=4^2-4cdot4cdot1=0, logo
x=-42cdot4=-tfrac12
Dessa forma surge a solução real
;z=-tfrac12.

Passo 5

Caso x=tfrac12: substituindo na parte real
4l((tfrac12)^2-y^2r)+4cdottfrac12+1=0 ;Longrightarrow; 4l(tfrac14 -y^2r)+2+1=0 ;Longrightarrow; 4-4y^2=0 ;Longrightarrow; y^2=1,
daí y=pm1. Isso dá as duas soluções
z=tfrac12 + i e z=tfrac12 - i

Resposta

As três soluções são
z=-tfrac12, z=tfrac12 + i, z=tfrac12 - i

Exercícios relacionados