Encontre duas soluções por séries de potências em torno de x=0 das equações abaixo.
\left(x^{2}-1\right) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede duas soluções independentes por séries de potências em torno de x=0 da equação
\bigl(x^{2}-1\bigr)y'' + x\,y' - y = 0.
O conteúdo que vamos usar é o método de série de potências (Frobenius com expoente inteiro), isto é, supor
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}.

Passo 2

Supondo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}, \quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2},
substituímos em \bigl(x^{2}-1\bigr)y'' + x\,y' - y = 0. Isso dá
\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n} -\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2} +\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n} -\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.
Reindexando tudo como potências x^{k}, igualamos coeficientes de cada x^{k} a zero.

Passo 3

Para k\ge2 obtemos
\bigl[k(k-1)+k-1\bigr]a_{k}-(k+2)(k+1)\,a_{k+2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{k+2}=\frac{k^{2}-1}{(k+2)(k+1)}\,a_{k}.
Para os casos iniciais k=0 e k=1 aparecem
-2\,a_{2}-a_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{2}=-\tfrac{1}{2}a_{0},
-6\,a_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{3}=0,
o que coincide com a fórmula geral quando k=0,1.

Passo 4

Note que, escolhendo a_{1} arbitrário, tem-se
a_{3}=0, \quad a_{5}=\frac{3^{2}-1}{5\cdot4}\,a_{3}=0,
e, recorrentemente, todos os a_{2m+1}=0 para m\ge1. Logo há uma solução ímpar pura, basta tomar a_{1}=1 e a_{0}=0:
y_{2}(x)=x.

Passo 5

Para a parte par obtemos, com a_{0} arbitrário, a recorrência
a_{2m+2}=\frac{(2m)^{2}-1}{(2m+2)(2m+1)}\,a_{2m} =\frac{2m-1}{2m+2}\,a_{2m}.
Isso leva ao termo geral
a_{2m} =(-1)^{m}\, \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2m-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2m)}\,a_{0}.
Escolhendo a_{0}=1, a primeira solução é
y_{1}(x) =1-\frac12x^{2}-\frac18x^{4}-\frac1{16}x^{6}-\frac5{128}x^{8}-\cdots.

Passo 6

As duas soluções independentes em torno de x=0 são:
y_{1}(x) =\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^{m}\, \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2m-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2m)}\,x^{2m}, \quad y_{2}(x)=x.

Resposta

y_{1}(x) = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^{m} \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2m-1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2m} \right) x^{2m},
y_{2}(x) = x.

Exercícios relacionados