Encontre duas soluções por séries de potências em torno de
das equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas soluções independentes por séries de potências em torno de
da equação
O conteúdo que vamos usar é o método de série de potências (Frobenius com expoente inteiro), isto é, supor
e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Supondo
substituímos em
. Isso dá
Reindexando tudo como potências
, igualamos coeficientes de cada
a zero.
Passo 3
Para
obtemos
Para os casos iniciais
e
aparecem
o que coincide com a fórmula geral quando
.
Passo 4
Note que, escolhendo
arbitrário, tem-se
e, recorrentemente, todos os
para
. Logo há uma solução ímpar pura, basta tomar
e
:
Passo 5
Para a parte par obtemos, com
arbitrário, a recorrência
Isso leva ao termo geral
Escolhendo
, a primeira solução é
Passo 6
As duas soluções independentes em torno de
são: