Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule \int_{-1}^{1} f(x) d x\) para \(f(x)= \begin{cases}x & \text { se } 0<x<1 / 2 \\\\ 1 / 2 & \text { se } x \geq 1 / 2 \\\\ -x & \text { se } x \leq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por pedaços
f(x)= \begin{cases} -x, & x \le 0,\\\ x, & 0 < x < \tfrac12,\\\ \tfrac12, & x \ge \tfrac12, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua por pedaços e, em caso afirmativo, calcular
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx.
Para isso vamos (1) checar continuidade nos pontos de quebra x=0 e x=\tfrac12 e (2) usar definição de integral de função por partes constantes em cada intervalo.

Passo 2

Verificação de continuidade em x=0:
O valor de f em 0 vem do ramo x\le0, logo
f(0)= -0 = 0.
O limite pela esquerda é
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(-x)=0,
e o limite pela direita é
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x=0.
Como todos coincidem, f é contínua em x=0.
Verificação de continuidade em x=\tfrac12:
O valor de f em \tfrac12 vem do ramo x\ge\tfrac12, então
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac12.
O limite pela esquerda é
\lim_{x\to(\tfrac12)^-}f(x)=\lim_{x\to(\tfrac12)^-}x=\tfrac12,
e o limite pela direita é
\lim_{x\to(\tfrac12)^+}f(x)=\tfrac12.
Logo, f é também contínua em x=\tfrac12. Concluímos que f é contínua por pedaços em [-1,1].

Passo 3

Como f é contínua por pedaços, podemos partir a integral nos intervalos [-1,0], [0,\tfrac12] e [\tfrac12,1]:
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}(-x)\,dx +\int_{0}^{\tfrac12}x\,dx +\int_{\tfrac12}^{1}\tfrac12\,dx.

Passo 4

Cálculo de cada parcela:
\int_{-1}^{0}(-x)\,dx =\bigl[-\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{-1}^{0} =0 - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) =\tfrac12,
\int_{0}^{\tfrac12}x\,dx =\bigl[\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{0}^{\tfrac12} =\tfrac{(1/2)^2}{2} =\tfrac{1}{8},
\int_{\tfrac12}^{1}\tfrac12\,dx =\tfrac12\bigl[x\bigr]_{\tfrac12}^{1} =\tfrac12\bigl(1-\tfrac12\bigr) =\tfrac14.

Resposta

Somando as três parcelas,
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\tfrac12 + \tfrac18 + \tfrac14 =\tfrac{7}{8}.
Portanto, f é contínua por pedaços em [-1,1] e
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx = \tfrac{7}{8}.

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