Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule \int_{-1}^{1} f(x) d x\) para
\(f(x)= \begin{cases}x & \text { se } 0<x<1 / 2 \\\\ 1 / 2 & \text { se } x \geq 1 / 2 \\\\ -x & \text { se } x \leq 0\end{cases}
Passo 1
O enunciado define a função por pedaços
f(x)= \begin{cases} -x, & x \le 0,\\\ x, & 0 < x < \tfrac12,\\\ \tfrac12, & x \ge \tfrac12, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua por pedaços e, em caso afirmativo, calcular
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx.
Para isso vamos (1) checar continuidade nos pontos de quebra x=0 e x=\tfrac12 e (2) usar definição de integral de função por partes constantes em cada intervalo.
Passo 2
Verificação de continuidade em x=0:
O valor de f em 0 vem do ramo x\le0, logo
f(0)= -0 = 0.
O limite pela esquerda é
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(-x)=0,
e o limite pela direita é
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x=0.
Como todos coincidem, f é contínua em x=0.
Verificação de continuidade em x=\tfrac12:
O valor de f em \tfrac12 vem do ramo x\ge\tfrac12, então