Reescreva as séries abaixo de forma que o termo geral envolva x^{n} :
\sum_{n=1}^{+\infty} n c_{n} x^{n+2}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a série
\sum_{n=1}^{\infty} n\,c_{n}\,x^{n+2}
de modo que o termo geral fique na forma a_n x^n. O assunto aqui é mudança de índice em séries de potências: vamos definir um novo índice que elimine o deslocamento no expoente de x.

Passo 2

Fazemos a substituição
m = n + 2.
Assim, quando n varia de 1 até \infty, o novo índice m varia de 3 até \infty. Além disso, n = m - 2. Substituindo na série original:
\sum_{n=1}^{\infty} n\,c_{n}\,x^{n+2} = \sum_{m=3}^{\infty} (m-2)\,c_{\,m-2}\,x^{m}.

Passo 3

Para escrever o resultado usando o índice n em vez de m, basta renomear m\to n, obtendo
\sum_{n=3}^{\infty} (n-2)\,c_{\,n-2}\,x^{n}.
Nesse formato já temos o termo geral envolvendo exatamente x^n. Se for necessário estender a definição de a_n para todos n\ge1, podemos definir
a_n = \begin{cases} 0, & n=1,2,\\\ (n-2)\,c_{\,n-2}, & n\ge3. \end{cases}

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} n\,c_{n}\,x^{n+2} =\sum_{n=3}^{\infty}(n-2)\,c_{\,n-2}\,x^{n}.

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