Encontre dy/dx por derivas lo implicita
e^{2} \cos x=1+\operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
e^2\cos x = 1 + \sin(xy)
e pede \frac{dy}{dx} por diferenciação implícita. Vamos usar regra da cadeia e produto para derivar ambos os lados em relação a x.

Passo 2

Derivando em relação a x:
à esquerda, e^2 é constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(e^2\cos x\bigr)=e^2(-\sin x)=-e^2\sin x.
à direita, \frac{d}{dx}(1)=0 e, para \sin(xy), aplicamos regra da cadeia com u=xy: \frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u' e \frac{d}{dx}(xy)=y + x\frac{dy}{dx}.
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-e^2\sin x = \cos(xy)\bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr).

Passo 3

Expandindo e isolando \frac{dy}{dx}:
-e^2\sin x = y\cos(xy) + x\cos(xy)\frac{dy}{dx}
x\cos(xy)\frac{dy}{dx} = -\,e^2\sin x - y\cos(xy)
\frac{dy}{dx} = \frac{-\,e^2\sin x - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{-\,e^2\sin x - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}.

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