Encontre dy/dx por derivas lo implicita
x \mathrm{e}^{2}=x-y

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
x\,\mathrm{e}^2 = x - y
e pede para encontrar \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} por diferenciação implícita. Ao derivar um termo que envolve y em relação a x, aparece o fator \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Como \mathrm{e}^2 é constante, vale
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\,\mathrm{e}^2\bigr)=\mathrm{e}^2.

Passo 2

Aplico \mathrm{d}/\mathrm{d}x em ambos os lados da igualdade:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\,\mathrm{e}^2\bigr) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x - y).
No lado esquerdo isso dá \mathrm{e}^2 e, no direito,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x - y) = 1 - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
Logo obtemos
\mathrm{e}^2 = 1 - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.

Passo 3

Isolo \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} na expressão acima:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1 - \mathrm{e}^2.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1 - \mathrm{e}^2

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