Prove que, sendo K um corpo, então:
\mathcal{U}(K)=K-{0}

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, se K é um corpo, então o grupo das unidades de K, \mathcal{U}(K)=\{\,x\in K\mid\exists\,y\in K:x\cdot y=1_K\},
coincide exatamente com K\setminus\{0\}, o conjunto dos elementos não-nulos de K.

Passo 2

Mostramos primeiro que \mathcal{U}(K)\subseteq K\setminus\{0\}.
Se x\in\mathcal{U}(K), existe y\in K tal que
x\cdot y = 1_K.
Se por absurdo x=0, então x\cdot y=0\cdot y=0\neq1_K, contradição.
Logo x\neq0 e x\in K\setminus\{0\}.

Passo 3

Agora mostramos que K\setminus\{0\}\subseteq\mathcal{U}(K).
Por definição de corpo, todo elemento não-nulo de K possui inverso multiplicativo.
Assim, se x\in K e x\neq0, existe y\in K com
x\cdot y = 1_K,
o que implica x\in\mathcal{U}(K).

Resposta

\mathcal{U}(K)=K\setminus\{0\}.

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