Prove que, sendo K um corpo, então:
D(K)=\emptyset

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se K é um corpo, então não existem divisores de zero em K, ou seja, D(K)=\emptyset. Vamos usar a definição de divisor de zero e a propriedade de que em um corpo todo elemento não nulo é invertível.

Passo 2

Definição de divisor de zero: um elemento a\in K é divisor de zero se existe b\in K, b\neq 0, tal que ab=0. O conjunto D(K) é formado pelos divisores de zero não nulos.

Passo 3

Seja a\in K com a\neq 0. Suponha, para chegar a uma contradição, que exista b\in K, b\neq 0, com
ab=0.
Como a é não nulo e K é corpo, existe o inverso multiplicativo a^{-1}. Multiplicando a equação pela esquerda por a^{-1}, temos
a^{-1}(ab)=a^{-1}0 \quad\Longrightarrow\quad (a^{-1}a)b=b=0,
o que contradiz b\neq 0. Portanto não pode existir divisor de zero não nulo em K.

Resposta

D(K)=\emptyset

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