Encontre dy/dx por diferenciação implícita.
Passo 1
A gente tem a equação implícita 2xy − x² + 3y = x − 1. O conteúdo é diferenciação implícita, ou seja, vamos derivar em relação a x cada termo, usando a regra do produto quando aparecer xy e a noção de que y também depende de x (portanto y’ = dy/dx).
Passo 2
Derivando ambos os lados em relação a x: para o termo 2xy usamos a regra do produto
u = 2x, v = y ⇒ u’ = 2, v’ = y’.
Logo,
(2xy)’ = u’v + u v’ = 2·y + 2x·y’.
Para −x² vem −2x, para 3y vem 3y’, e o lado direito x − 1 deriva para 1. Assim:
2y + 2x y’ − 2x + 3y’ = 1
Passo 3
Agora é só juntar os termos com y’ de um lado: temos 2x y’ + 3y’ = (2x + 3) y’. Os termos sem y’ (2y e −2x) passam pro outro lado com sinal trocado:
(2x + 3) y’ = 1 − 2y + 2x
Passo 4
Finalmente isolamos y’ dividindo por (2x + 3):
y’ = \frac{2x − 2y + 1}{2x + 3}
Resposta
\frac{2x - 2y + 1}{2x + 3}