Encontre x e y na equação x(1+i)^2+y(2-i)^2=3+i 10, x in R, y in R.

Passo 1

O enunciado pede para determinar x,yinR tais que
x(1+i)^2+y(2-i)^2=3+10i
Vamos calcular primeiro os quadrados dos números complexos e depois igualar as partes real e imaginária.

Passo 2

Calcular (1+i)^2 e (2-i)^2:
(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i,
(2-i)^2=4-4i+i^2=4-4i-1=3-4i

Passo 3

Substituindo esses resultados na equação original, obtemos
xcdot 2i ;+;y,(3-4i)=3+10i

Passo 4

Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem coincidir. Escrevendo
2i,x + (3-4i),y = 3 + 10i,
separamos em parte real e parte imaginária:
parte real: ,3y = 3,
parte imaginária: ,2x - 4y = 10

Passo 5

Resolvendo o sistema
3y = 3, 2x - 4y = 10,
temos de 3y=3 que y=1. Substituindo na segunda equação,
2x - 4cdot1 = 10 Longrightarrow 2x = 14 Longrightarrow x = 7

Resposta

x = 7, y = 1.

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