Resolva a equação 2 z^4-14 z^3+33 z^2-26 z+10=0, z in C. Use que 3+i é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de quarto grau
2z^4-14z^3+33z^2-26z+10=0
no conjunto C, sabendo que 3+i é uma raiz. Como os coeficientes são reais, usaremos o teorema do conjugado e depois dividiremos o polinômio para quebrá-lo em fatores menores.

Passo 2

Pelo teorema do conjugado, se 3+i é raiz então 3-i também é raiz. O fator quadrático que tem essas raízes é
(z-(3+i))(z-(3-i)) = (z-3)^2 +1 = z^2 -6z +10

Passo 3

Dividimos o polinômio original por z^2-6z+10. A divisão polinomial
2z^4-14z^3+33z^2-26z+10 ;/;(z^2-6z+10)
resulta em quociente
2z^2-2z+1
e resto zero. Logo
2z^4-14z^3+33z^2-26z+10 = (z^2-6z+10),(2z^2-2z+1)

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
2z^2-2z+1=0
pela fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (-2)^2 -4cdot2cdot1 = 4 - 8 = -4,
e portanto as raízes são
z = 2 pm raiz-42cdot2 = 2 pm 2,i4 = 1 pm i2

Resposta

As quatro raízes da equação são
z = 3+i, 3-i, 1+i2, 1-i2

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