(2,0 pontos) Considerando os seguintes subespaços de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \mid A \text { é simétrica }\right\} \quad \text { e } \quad U=\left[\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right)\right]éé
determine uma base de U \cap W e a dimensão de U+W.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em M_{2\times2}(\mathbb{R}):
– Uma base de U\cap W, onde
W=\bigl\{A\mid A^\top=A\bigr\}
e
U=\bigl[\, A_1=\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\;,\; A_2=\begin{pmatrix}2&-1\\\ 3&-2\end{pmatrix}\;,\; A_3=\begin{pmatrix}0&1\\\ 3&-2\end{pmatrix} \,\bigr].
– A dimensão de U+W.
Para isso vamos: (i) escrever um elemento genérico de U, (ii) impor a condição de simetria, (iii) extrair a base do interseção e (iv) usar a fórmula de dimensão da soma de subespaços.

Passo 2

Seja
X = xA_1 + yA_2 + zA_3
com x,y,z\in\mathbb{R}. Então
X \;=\; \begin{pmatrix} -\,x + 2y +0z & x - y + z\\[6pt] 0\,x +3y +3z & 0\,x -2y -2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,x+2y & x-y+z\\[3pt] 3y+3z & -2y-2z \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para X ser simétrico, precisamos de
\text{(1,2)-entrada} \;=\;\text{(2,1)-entrada},
ou seja,
x - y + z \;=\; 3y + 3z \quad\Longrightarrow\quad x = 4y + 2z.
Substituindo em X obtém-se
X = \begin{pmatrix} -2y -2z & 3y+3z\\[3pt] 3y+3z & -2y -2z \end{pmatrix} =(y+z)\, \begin{pmatrix}-2&3\\\ 3&-2\end{pmatrix}.
Logo todo X\in U\cap W é múltiplo escalar de \displaystyle M=\begin{pmatrix}-2&3\\\ 3&-2\end{pmatrix}.
Portanto
U\cap W = \operatorname{span}\{M\},
e uma base de U\cap W é
\left\{\begin{pmatrix}-2&3\\\ 3&-2\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 4

Note que entre A_1,A_2,A_3 há a relação
A_3 = A_2 + 2A_1,
logo \{A_1,A_2\} é base de U e \dim U=2.
Também \dim W, o espaço das matrizes simétricas 2\times2, vale 3.
E de Passo 3 temos \dim(U\cap W)=1.

Passo 5

Pela fórmula de Grassmann,
\dim(U+W)=\dim U + \dim W - \dim(U\cap W) =2 + 3 - 1 = 4.

Resposta

Base de U\cap W:
\left\{\begin{pmatrix}-2&3\\\ 3&-2\end{pmatrix}\right\}.
Dimensão de U+W: 4.

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