– A dimensão de U+W.
Para isso vamos: (i) escrever um elemento genérico de U, (ii) impor a condição de simetria, (iii) extrair a base do interseção e (iv) usar a fórmula de dimensão da soma de subespaços.
Passo 2
Seja
X = xA_1 + yA_2 + zA_3
com x,y,z\in\mathbb{R}. Então
X \;=\; \begin{pmatrix} -\,x + 2y +0z & x - y + z\\[6pt] 0\,x +3y +3z & 0\,x -2y -2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,x+2y & x-y+z\\[3pt] 3y+3z & -2y-2z \end{pmatrix}.]
Passo 3
Para X ser simétrico, precisamos de
\text{(1,2)-entrada} \;=\;\text{(2,1)-entrada},
ou seja,
x - y + z \;=\; 3y + 3z \quad\Longrightarrow\quad x = 4y + 2z.