Encontre a equação canônica da parábola, cujo o foco é o centro da elipse de equação
e a diretriz é a reta tangente a elipse no ponto
.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede a equação canônica de uma parábola cujo foco é o centro da elipse
e cuja diretriz é a reta tangente a essa elipse no ponto
. Vamos usar:
- Completamento de quadrados para achar o centro da elipse (e, portanto, o foco da parábola).
- Gradiente para determinar a reta tangente.
- Definição de parábola (distância ao foco igual à distância à diretriz) para achar vértice, parâmetro
e equação canônica.
Passo 2
Para achar o centro da elipse, escrevemos
Logo, o centro da elipse é
. Esse será o foco da parábola.
Passo 3
A reta tangente à elipse em
obtemos pelo gradiente de
:
em
dá
, vetor normal à tangente. Logo a tangente é
Essa será a diretriz da parábola.
Passo 4
Temos foco
e diretriz
. O vértice
está no ponto médio vertical entre foco e diretriz:
A distância focal
. Como o foco está abaixo da diretriz, a parábola abre para baixo e sua equação canônica é
Resposta
d.