Encontre a equação canônica da parábola, cujo o foco é o centro da elipse de equação x^{2}+2 y^{2}-8 x-4 y-14=0 e a diretriz é a reta tangente a elipse no ponto (4,5).
Escolha uma opção:
a. y-4=\frac{1}{8}(x-2)^{2}
b. y-0=\frac{1}{4}(x-4)^{2}
c. y-2=-\frac{1}{4}(x-4)^{2}
d. y-3=-\frac{1}{8}(x-4)^{2}
e. y+1=\frac{1}{8}(x-4)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a equação canônica de uma parábola cujo foco é o centro da elipse
x^{2}+2y^{2}-8x-4y-14=0
e cuja diretriz é a reta tangente a essa elipse no ponto (4,5). Vamos usar:
  1. Completamento de quadrados para achar o centro da elipse (e, portanto, o foco da parábola).
  2. Gradiente para determinar a reta tangente.
  3. Definição de parábola (distância ao foco igual à distância à diretriz) para achar vértice, parâmetro p e equação canônica.

Passo 2

Para achar o centro da elipse, escrevemos
x^{2}-8x+2y^{2}-4y-14=0 \;\Longrightarrow\; (x-4)^{2}-16 + 2\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)-14=0
\Longrightarrow\; (x-4)^{2} + 2(y-1)^{2} -32 = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{(x-4)^{2}}{32} + \frac{(y-1)^{2}}{16} = 1.
Logo, o centro da elipse é (4,1). Esse será o foco da parábola.

Passo 3

A reta tangente à elipse em (4,5) obtemos pelo gradiente de \;F(x,y)=x^{2}+2y^{2}-8x-4y-14:
\nabla F(x,y) = (2x-8,\;4y-4),
em (4,5) (0,16), vetor normal à tangente. Logo a tangente é
0\,(x-4) + 16\,(y-5) = 0 \;\Longrightarrow\; y = 5.
Essa será a diretriz da parábola.

Passo 4

Temos foco F=(4,1) e diretriz y=5. O vértice V está no ponto médio vertical entre foco e diretriz:
V = \Bigl(4,\;\tfrac{1+5}{2}\Bigr) = (4,3).
A distância focal p = |3-1| = 2. Como o foco está abaixo da diretriz, a parábola abre para baixo e sua equação canônica é
(x-4)^{2} = -4p\,(y-3) \quad\Longrightarrow\quad (x-4)^{2} = -8\,(y-3) \quad\Longrightarrow\quad y-3 = -\frac{1}{8}(x-4)^{2}.

Resposta

d. y-3 = -\frac{1}{8}(x-4)^{2}

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