Exercício 1. (1.3 Pontos)
Calcule a distância entre as retas
r:\left\{\begin{array}{l} x=21+6 \lambda \\\ y=-5-4 \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R}, \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\\\ 2 x-y-1=0 \end{array}\right. \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3\). A reta \(r\) está dada parametricamente por \[r:\begin{cases} x=21+6\lambda,\\\ y=-5-4\lambda,\\\ z=0, \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R},
e a reta s\] é a interseção dos planos \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2x-y-1=0. \end{cases}\] Para calcular a distância entre duas retas incidentes ou reversas (espaças paralelas ou não), usamos a fórmula \[d=\frac{\bigl|\bigl(\overrightarrow{Q_0P_0}\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr)\bigr|} {\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|},\] onde \(\mathbf{u} e \mathbf{v}$ são vetores diretores de \(r e s, e P_0\in r, Q_0\in s.)

Passo 2

Identificamos um ponto em r e seu vetor diretor.
Tomando \lambda=0 em r, temos um ponto
P_0 = (21,\,-5,\,0).
O vetor diretor de r é
\mathbf{u} = (6,\,-4,\,0).

Passo 3

Para achar um ponto em s\), resolvemos \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2x-y-1=0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=2x-1\]. Substituindo na primeira: \[x + (2x-1) + z = 0 \;\Longrightarrow\; 3x -1 + z = 0 \;\Longrightarrow\; z = 1-3x.\] Escolhemos \(x=0, então
Q_0 = (0,\,-1,\;1).

Passo 4

O vetor diretor de s é dado pelo produto vetorial dos normais dos planos \\ n_1=(1,1,1) e n_2=(2,-1,0).
\mathbf{v} = n_1 \times n_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&1\\\\ 2&-1&0 \end{vmatrix} =(12,\,18,\,16).
Para simplificar, podemos dividir por 2 e usar
\mathbf{v} = (1,2,-3)
que é proporcional e serve como vetor diretor.

Passo 5

Calculamos agora \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = (6,-4,0)\times(1,2,-3) = (12,\,18,\,16).
O módulo é
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| =\sqrt{12^2+18^2+16^2} =\sqrt{144+324+256} =\sqrt{724} =2\sqrt{181}.

Passo 6

Formamos o vetor que liga Q_0 a P_0:
\overrightarrow{Q_0P_0} = P_0 - Q_0 = (21,-5,0) - (0,-1,1) = (21,\,-4,\,-1).
O produto escalar com \mathbf{u}\times\mathbf{v} é
\overrightarrow{Q_0P_0}\,\cdot\,(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = (21)(12)+(-4)(18)+(-1)(16) =252-72-16 =164.

Passo 7

Finalmente, pela fórmula da distância entre retas reversas,
d =\frac{\bigl|\overrightarrow{Q_0P_0}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|} =\frac{|164|}{2\sqrt{181}} =\frac{82}{\sqrt{181}}.

Resposta

\boxed{\frac{82}{\sqrt{181}}}

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