O enunciado pede a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3\). A reta \(r\) está dada parametricamente por
\[r:\begin{cases} x=21+6\lambda,\\\ y=-5-4\lambda,\\\ z=0, \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R},
e a reta s\] é a interseção dos planos
\[\begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2x-y-1=0. \end{cases}\]
Para calcular a distância entre duas retas incidentes ou reversas (espaças paralelas ou não), usamos a fórmula
\[d=\frac{\bigl|\bigl(\overrightarrow{Q_0P_0}\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr)\bigr|} {\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|},\]
onde \(\mathbf{u} e \mathbf{v}$ são vetores diretores de \(r e s, e P_0\in r, Q_0\in s.)
Passo 2
Identificamos um ponto em r e seu vetor diretor.
Tomando \lambda=0 em r, temos um ponto
P_0 = (21,\,-5,\,0).
O vetor diretor de r é
\mathbf{u} = (6,\,-4,\,0).
Passo 3
Para achar um ponto em s\), resolvemos
\[\begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2x-y-1=0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=2x-1\]. Substituindo na primeira:
\[x + (2x-1) + z = 0 \;\Longrightarrow\; 3x -1 + z = 0 \;\Longrightarrow\; z = 1-3x.\]
Escolhemos \(x=0, então
Q_0 = (0,\,-1,\;1).
Passo 4
O vetor diretor de s é dado pelo produto vetorial dos normais dos planos \\ n_1=(1,1,1) e n_2=(2,-1,0).
Finalmente, pela fórmula da distância entre retas reversas,
d =\frac{\bigl|\overrightarrow{Q_0P_0}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|} =\frac{|164|}{2\sqrt{181}} =\frac{82}{\sqrt{181}}.