Encontre a equação cartesiana para cada uma das seguintes equações polares.
r = 2 cos(theta) - 4 sen(theta)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para transformar uma equação polar em sua forma cartesiana. A equação que temos é:
Então, estamos lidando com sistemas de coordenadas polares e cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de conversão entre esses dois tipos de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas básicas que a gente usa são:
E também sabemos que:
Vamos usar essas relações para transformar a equação dada.

Passo 3

Vamos pegar a equação original e substituir r pelas expressões em termos de x e y. Temos:
Multiplicando ambos os lados por r, para facilitar a substituição:
Isso fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir r cos(theta) por x e por y, conforme as fórmulas de conversão:
Lembrando que , então substituindo isso na equação:

Passo 5

Para deixar a equação na forma cartesiana padrão, vamos organizar os termos:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e y.

Passo 6

Completando o quadrado para x:
E para y:
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Simplificando a equação:
Adicionando 5 aos dois lados:

Resposta

A equação cartesiana correspondente é:

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