Encontre a equação cartesiana para cada uma das seguintes equações polares.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para transformar uma equação polar em sua forma cartesiana. A equação que temos é:
Então, estamos lidando com sistemas de coordenadas polares e cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de conversão entre esses dois tipos de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas básicas que a gente usa são:
E também sabemos que:
Vamos usar essas relações para transformar a equação dada.
Passo 3
Vamos pegar a equação original e substituir
pelas expressões em termos de
e
. Temos:
Multiplicando ambos os lados por
, para facilitar a substituição:
Isso fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir
por
e
por
, conforme as fórmulas de conversão:
Lembrando que
, então substituindo isso na equação:
Passo 5
Para deixar a equação na forma cartesiana padrão, vamos organizar os termos:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Passo 6
Completando o quadrado para
:
E para
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Simplificando a equação:
Adicionando 5 aos dois lados:
Resposta
A equação cartesiana correspondente é: