Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter coordenadas de cilíndricas para esféricas. O ponto que temos é
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria espacial e fórmulas que ligam essas duas formas de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas cilíndricas e esféricas:
-
Coordenadas Cilíndricas:
-
é a distância do ponto até o eixo . -
é o ângulo no plano . -
é a altura sobre o plano .
-
-
Coordenadas Esféricas:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo . -
é o mesmo ângulo do plano , igual ao das coordenadas cilíndricas.
-
Passo 3
Para converter de cilíndricas para esféricas, vamos usar as seguintes fórmulas:
Isso significa que o
permanece o mesmo, e precisamos calcular
e
usando
e
da coordenada cilíndrica.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Temos
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a fórmula:
Passo 6
O ângulo
permanece o mesmo das coordenadas cilíndricas, que é
.
Resposta
As coordenadas esféricas correspondentes são
.