Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Por fim, faça o esboço do mesmo: (b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função
no intervalo
, utilizando o teste da segunda derivada quando possível. Além disso, precisamos determinar os pontos de inflexão, as regiões onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, e fazer um esboço do gráfico.
Conteúdo da matéria: Derivadas (primeira e segunda), testes de extrema, concavidade e pontos de inflexão.
O que vamos precisar:
- Calcular a primeira e segunda derivadas da função.
- Encontrar os pontos críticos onde a primeira derivada é zero ou não existe.
- Aplicar o teste da segunda derivada para identificar máximas e mínimas.
- Determinar onde a segunda derivada muda de sinal para encontrar pontos de inflexão.
- Analisar a concavidade do gráfico com base na segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou não existe. Como
está definida para todo
, só precisamos resolver
:
As soluções para
são:
Dentro do intervalo
, os valores de
que satisfazem a equação são
, resultando nos pontos críticos:
Contudo,
estão fora do nosso intervalo de análise. Portanto, o único ponto crítico dentro do intervalo é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função para aplicar o teste da segunda derivada. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 5
Aplicando o teste da segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a função tem um máximo relativo em
.
Passo 6
Para determinar os pontos de inflexão, precisamos encontrar os valores de
onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
:
As soluções são:
Dentro do intervalo
, os valores de
que satisfazem a equação são
, resultando nos pontos de inflexão:
Passo 7
Agora, vamos determinar as regiões de concavidade:
- Concavo para cima: onde
- Concavo para baixo: onde
Analisando a segunda derivada
:
- Para
, , então . Portanto, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo. - Nos pontos
e , , indicando pontos de inflexão.
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
no intervalo
:
- Máximo relativo em
, . - Pontos de inflexão em
e , onde a concavidade muda. - O gráfico é côncavo para baixo em todo o intervalo aberto
.
Resposta
A função
possui um máximo relativo em
, pontos de inflexão em
e
, e o gráfico é côncavo para baixo no intervalo
. O esboço do gráfico reflete essas características conforme descrito.