Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Por fim, faça o esboço do mesmo: (b) f(x) = cos(3 x), x in [-pi/6, pi/6]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função no intervalo , utilizando o teste da segunda derivada quando possível. Além disso, precisamos determinar os pontos de inflexão, as regiões onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, e fazer um esboço do gráfico.
Conteúdo da matéria: Derivadas (primeira e segunda), testes de extrema, concavidade e pontos de inflexão.
O que vamos precisar:
  • Calcular a primeira e segunda derivadas da função.
  • Encontrar os pontos críticos onde a primeira derivada é zero ou não existe.
  • Aplicar o teste da segunda derivada para identificar máximas e mínimas.
  • Determinar onde a segunda derivada muda de sinal para encontrar pontos de inflexão.
  • Analisar a concavidade do gráfico com base na segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada de em relação a é , onde .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou não existe. Como está definida para todo , só precisamos resolver :
As soluções para são:
Dentro do intervalo , os valores de que satisfazem a equação são , resultando nos pontos críticos:
Contudo, estão fora do nosso intervalo de análise. Portanto, o único ponto crítico dentro do intervalo é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função para aplicar o teste da segunda derivada. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:

Passo 5

Aplicando o teste da segunda derivada no ponto crítico :
Como , isso indica que a função tem um máximo relativo em .

Passo 6

Para determinar os pontos de inflexão, precisamos encontrar os valores de onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde :
As soluções são:
Dentro do intervalo , os valores de que satisfazem a equação são , resultando nos pontos de inflexão:

Passo 7

Agora, vamos determinar as regiões de concavidade:
  • Concavo para cima: onde
  • Concavo para baixo: onde
Analisando a segunda derivada :
  • Para , , então . Portanto, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo.
  • Nos pontos e , , indicando pontos de inflexão.

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função no intervalo :
  • Máximo relativo em , .
  • Pontos de inflexão em e , onde a concavidade muda.
  • O gráfico é côncavo para baixo em todo o intervalo aberto .

Resposta

A função possui um máximo relativo em , pontos de inflexão em e , e o gráfico é côncavo para baixo no intervalo . O esboço do gráfico reflete essas características conforme descrito.

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