Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada. Esboce as curvas.
r=7 \cos (\theta-\pi / 3).

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r = 7\cos\bigl(\theta - \tfrac{\pi}{3}\bigr)
e pede a equação cartesiana e o esboço. Vamos usar as relações
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r^2 = x^2 + y^2
e a identidade trigonométrica para \cos(\theta-\alpha).

Passo 2

Aplicando a identidade
\cos\bigl(\theta - \tfrac{\pi}{3}\bigr) = \cos\theta\cos\tfrac{\pi}{3} + \sin\theta\sin\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12\cos\theta + \tfrac{\sqrt3}{2}\sin\theta,
temos
r = 7\Bigl(\tfrac12\cos\theta + \tfrac{\sqrt3}{2}\sin\theta\Bigr) = \tfrac{7}{2}\cos\theta + \tfrac{7\sqrt3}{2}\sin\theta.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por r:
r^2 = \tfrac{7}{2}\,r\cos\theta + \tfrac{7\sqrt3}{2}\,r\sin\theta.
Substituindo r^2 = x^2 + y^2, r\cos\theta = x e r\sin\theta = y, obtemos
x^2 + y^2 = \tfrac{7}{2}\,x + \tfrac{7\sqrt3}{2}\,y.

Passo 4

Reescrevendo em forma de completar quadrados:
x^2 - \tfrac{7}{2}x + y^2 - \tfrac{7\sqrt3}{2}y = 0
podemos agrupar e completar quadrados:
\bigl(x - \tfrac{7}{4}\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{7}{4}\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac{7\sqrt3}{4}\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{7\sqrt3}{4}\bigr)^2 =0.
Somando os quadrados que subtraímos,
\bigl(\tfrac{7}{4}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{7\sqrt3}{4}\bigr)^2 = \tfrac{49}{16} + \tfrac{147}{16} = \tfrac{196}{16} = \tfrac{49}{4},
ficando
\bigl(x - \tfrac{7}{4}\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac{7\sqrt3}{4}\bigr)^2 = \tfrac{49}{4}.

Passo 5

A equação
\bigl(x - \tfrac{7}{4}\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac{7\sqrt3}{4}\bigr)^2 = \bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)^2
é a de um círculo de centro \bigl(\tfrac{7}{4},\tfrac{7\sqrt3}{4}\bigr) e raio \tfrac{7}{2}. Note que, ao variar \theta de 0 a 2\pi, a curva completa desse círculo é registrada (incluindo o ponto r=0, que corresponde à origem).

Resposta

A equação cartesiana é
\bigl(x - \tfrac{7}{4}\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac{7\sqrt3}{4}\bigr)^2 = \bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)^2.
É um círculo de centro \bigl(\tfrac{7}{4},\tfrac{7\sqrt3}{4}\bigr) e raio \tfrac{7}{2}.

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