Resolva a inequação e apresente seu resultado usando a notação de intervalos.
|x-4|<|x-(-6)|-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valores absolutos
|x-4| < |x+6| - 4,
usando notação de intervalos. O conteúdo é análise de inequações envolvendo valor absoluto e peça-wise definition de |\cdot|. Para resolver, precisamos (1) garantir que o lado direito seja ≥ 0 (caso contrário não há solução) e (2) estudar casos conforme os sinais de x-4 e x+6.

Passo 2

Determinamos onde o lado direito é não negativo:
|x+6| - 4 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+6| \ge 4 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le -10 \;\text{ou}\; x \ge -2.
Só nessas faixas pode haver solução, pois se |x+6|-4<0 então
|x-4|\ge0 jamais seria menor que um número negativo.

Passo 3

Analisamos a parte x \le -10.
Para x \le -10 temos
x+6 \le -4 \implies |x+6| = -x-6, \quad x-4 \le -14 \implies |x-4| = 4-x.
Substituindo na inequação:
(4-x)+4 < (-x-6) \quad\Longleftrightarrow\quad 8 - x < -x - 6 \quad\Longleftrightarrow\quad 8 < -6,
o que é falso. Logo, não há solução em x \le -10.

Passo 4

Agora para x \ge -2. Aqui x+6\ge4\implies |x+6| = x+6. Quebramos em dois subcasos:
4.1 Se -2 \le x < 4, então x-4<0\implies|x-4|=4-x. A inequação vira
(4-x)+4 < x+6 \quad\Longleftrightarrow\quad 8 - x < x + 6 \quad\Longleftrightarrow\quad 2 < 2x \quad\Longleftrightarrow\quad x > 1.
Intersectando com -2 \le x < 4 1 < x < 4.
4.2 Se x \ge 4, então x-4\ge0\implies|x-4|=x-4. A inequação fica
(x-4)+4 < x+6 \quad\Longleftrightarrow\quad x < x+6,
que é sempre verdadeira para todo x. Portanto todo x\ge4 está na solução.
Juntando 4.1 e 4.2, em x\ge -2 obtemos
(1,4)\;\cup\;[4,\infty) \;=\; (1,\infty).

Resposta

(1,\infty)

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