Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada. Esboce as curvas.
r(5 \cos \theta+\operatorname{sen} \theta)=3 \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede pra converter a curva dada em coordenadas polares pela equação
r\,(5\cos\theta+\sin\theta)=3\sqrt{2}
em sua forma cartesiana e, em seguida, esboçar essa curva. A matéria aqui é transformação de coordenadas polares em cartesianas, usando
x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.

Passo 2

Repare que
r\,(5\cos\theta+\sin\theta)=5\,(r\cos\theta)+1\,(r\sin\theta)=5x+y.
Ou seja, o lado esquerdo vira simplesmente 5x+y.

Passo 3

Substituindo na equação polar, obtemos a forma cartesiana direta:
5x+y=3\sqrt{2}.
Isso mostra que a curva é uma reta no plano.

Passo 4

Para esboçar a reta, achamos os interceptos:
– Se y=0, então 5x=3\sqrt{2}, logo
x=\frac{3\sqrt{2}}{5}.
– Se x=0, então
y=3\sqrt{2}.
O coeficiente angular é m=-5, e a reta passa por \bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{5},0\bigr) e \bigl(0,3\sqrt{2}\bigr).

Resposta

A equação cartesiana da curva é
5x+y=3\sqrt{2},
uma reta que intercepta o eixo x em \bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{5},0\bigr) e o eixo y em \bigl(0,3\sqrt{2}\bigr).

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