Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada. Esboce as curvas.
r^{2}+16-8 r \cos (\theta-\pi / 3)=9.

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva dada em coordenadas polares
r^{2}+16-8\,r\cos\bigl(\theta-\tfrac\pi3\bigr)=9
para uma equação cartesiana x,y e esboçar essa curva. Vamos usar a relação
r\cos\bigl(\theta-\alpha\bigr)=x\cos\alpha+y\sin\alpha
e lembrar que r^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Aplicamos r^{2}=x^{2}+y^{2} e
r\cos\bigl(\theta-\tfrac\pi3\bigr) =x\cos\tfrac\pi3+y\sin\tfrac\pi3 =\tfrac12\,x+\tfrac{\sqrt3}{2}\,y
na equação polar:
x^{2}+y^{2}+16-8\Bigl(\tfrac12\,x+\tfrac{\sqrt3}{2}\,y\Bigr)=9.

Passo 3

Simplificamos a expressão:
x^{2}+y^{2}+16-4x-4\sqrt3\,y=9 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}-4x-4\sqrt3\,y+7=0.

Passo 4

Para reconhecer a forma de círculo, completamos quadrados:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4, \quad y^{2}-4\sqrt3\,y = \bigl(y-2\sqrt3\bigr)^{2}-12.
Substituindo em x^{2}+y^{2}-4x-4\sqrt3\,y+7=0
(x-2)^{2}-4+\bigl(y-2\sqrt3\bigr)^{2}-12+7=0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2}+\bigl(y-2\sqrt3\bigr)^{2}=9.

Passo 5

Concluímos que a curva é o círculo de centro
\,(2,\,2\sqrt3)\, e raio \,3.

Resposta

A equação cartesiana é
(x-2)^{2}+\bigl(y-2\sqrt3\bigr)^{2}=9.
Trata-se de um círculo de centro em (2,2\sqrt3) e raio 3.
No esboço, basta marcar o ponto (2,2\sqrt3) e desenhar o círculo de raio 3 ao redor dele.

Exercícios relacionados