Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada. Esboce as curvas.
r(5 \cos \theta-12 \operatorname{sen} \theta)=39

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r\bigl(5\cos\theta - 12\sin\theta\bigr)=39
e pede a equação cartesiana. Vamos usar a transformação padrão de polares para cartesianas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.

Passo 2

Na expressão polar temos
r\cdot 5\cos\theta = 5\,(r\cos\theta)=5x,
r\cdot(-12\sin\theta)=-12\,(r\sin\theta)=-12y.
Portanto a equação polar se torna
5x - 12y = 39.

Passo 3

Concluímos que a curva é uma reta, cuja equação cartesiana é
5x - 12y = 39.

Passo 4

Para esboçar a reta, basta encontrar os interceptos:
  • Quando y=0, 5x=39 x=\tfrac{39}{5}=7{,}8.
  • Quando x=0, -12y=39 y=-\tfrac{39}{12}=-\tfrac{13}{4}=-3{,}25.
No plano xy a reta passa por (7{,}8,0) e (0,-3{,}25).

Resposta

5x - 12y = 39

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