Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada por alpha(t)=(1raizt+1, tt+1), t>-1 e esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada pela função alpha(t) = (1raizt+1, tt+1), com t > -1. O que a gente precisa fazer é encontrar a equação cartesiana dessa curva, ou seja, uma relação direta entre x e y sem o parâmetro t. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas propriedades de funções matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as expressões para x e y em termos de t. Da função dada, temos:
x = 1raizt + 1
y = tt + 1
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t dessas duas equações para relacionar x e y diretamente.

Passo 3

Vamos começar isolando t na equação de x. A equação é:
x = 1raizt + 1
Primeiro, vamos inverter os dois lados para facilitar:
1x = raizt + 1
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(1x)^2 = t + 1
1x^2 = t + 1
Agora, isolamos t:
t = 1x^2 - 1

Passo 4

Agora que expressamos t em termos de x, vamos substituir essa expressão na equação de y:
y = tt + 1
Substituindo t:
y = 1x^2 - 1(1x^2 - 1) + 1
Simplificando o denominador:
y = 1x^2 - 11x^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração. Dividir 1x^2 - 1 por 1x^2 é o mesmo que multiplicar por x^2:
y = (1x^2 - 1) times x^2
Distribuindo x^2:
y = 1 - x^2

Passo 6

Pronto! Conseguimos relacionar y diretamente com x sem depender de t. A equação cartesiana da curva é:
y = 1 - x^2

Resposta

A equação cartesiana da curva parametrizada é y = 1 - x^2.

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