Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada por
e esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada pela função
, com
. O que a gente precisa fazer é encontrar a equação cartesiana dessa curva, ou seja, uma relação direta entre
e
sem o parâmetro
. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas propriedades de funções matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as expressões para
e
em termos de
. Da função dada, temos:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
dessas duas equações para relacionar
e
diretamente.
Passo 3
Vamos começar isolando
na equação de
. A equação é:
Primeiro, vamos inverter os dois lados para facilitar:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Agora que expressamos
em termos de
, vamos substituir essa expressão na equação de
:
Substituindo
:
Simplificando o denominador:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a fração. Dividir
por
é o mesmo que multiplicar por
:
Distribuindo
:
Passo 6
Pronto! Conseguimos relacionar
diretamente com
sem depender de
. A equação cartesiana da curva é:
Resposta
A equação cartesiana da curva parametrizada é
.