Encontre uma equação cartesiana de um plano H que passa pelo ponto P0=(1,2,3) e tem vetor normal N=(1,5,7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar a equação cartesiana de um plano que passa por um ponto específico P0 = (1, 2, 3) e que tem um vetor normal N = (1, 5, 7) . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Precisamos lembrar como relacionar um ponto e um vetor normal para formar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Aqui, (A, B, C) são as componentes do vetor normal N , e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto P0 pelo qual o plano passa.

Passo 3

No nosso caso, o vetor normal N tem componentes A = 1 , B = 5 e C = 7 . O ponto P0 tem coordenadas x0 = 1 , y0 = 2 e z0 = 3 . Vamos substituir esses valores na equação geral do plano.

Passo 4

Substituindo os valores na equação:
1(x - 1) + 5(y - 2) + 7(z - 3) = 0
Agora, vamos simplificar essa expressão para chegar à forma mais simples da equação do plano.

Passo 5

Distribuindo os termos:
x - 1 + 5y - 10 + 7z - 21 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
x + 5y + 7z - 32 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano H é:
x + 5y + 7z = 32

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