Encontre uma equação cartesiana de um plano que passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de geometria no espaço tridimensional. A parada é encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: , e . Para resolver isso, vamos precisar usar vetores e entender como encontrar a equação de um plano usando pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para definir um plano no espaço, a gente precisa de um ponto que está no plano e dois vetores que estão dentro do plano. Esses vetores podem ser encontrados usando os pontos que a gente tem.
Passo 3
Vamos criar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados. Um vetor pode ser formado de para , e outro de para .
O vetor de para é:
O vetor de para é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial dos dois vetores.
Calculando o produto vetorial :
n = i(-4 - 10) - j(-2 - 4) + k(5 - 4)
n = (-14, 6, 1)
Passo 5
Com o vetor normal n = (-14, 6, 1) e sabendo que o plano passa pelo ponto P0=(1,2,3) , podemos usar a equação geral do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto no plano.