Encontre uma equação cartesiana de um plano H que passa pelos pontos P0=(1,2,3), P=(2,4,5) e Q=(3,7,1).

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de geometria no espaço tridimensional. A parada é encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: P0=(1,2,3) , P=(2,4,5) e Q=(3,7,1) . Para resolver isso, vamos precisar usar vetores e entender como encontrar a equação de um plano usando pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para definir um plano no espaço, a gente precisa de um ponto que está no plano e dois vetores que estão dentro do plano. Esses vetores podem ser encontrados usando os pontos que a gente tem.

Passo 3

Vamos criar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados. Um vetor pode ser formado de P0 para P , e outro de P0 para Q .
O vetor u de P0 para P é:
u = P - P0 = (2-1, 4-2, 5-3) = (1, 2, 2)
O vetor v de P0 para Q é:
v = Q - P0 = (3-1, 7-2, 1-3) = (2, 5, -2)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores u e v . Para isso, usamos o produto vetorial dos dois vetores.
Calculando o produto vetorial n = u times v :
n = i & j & k 1 & 2 & 2 2 & 5 & -2 = i(2 cdot (-2) - 2 cdot 5) - j(1 cdot (-2) - 2 cdot 2) + k(1 cdot 5 - 2 cdot 2)
n = i(-4 - 10) - j(-2 - 4) + k(5 - 4)
n = (-14, 6, 1)

Passo 5

Com o vetor normal n = (-14, 6, 1) e sabendo que o plano passa pelo ponto P0=(1,2,3) , podemos usar a equação geral do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto no plano.
Substituindo os valores:
-14(x - 1) + 6(y - 2) + 1(z - 3) = 0

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
-14x + 14 + 6y - 12 + z - 3 = 0
-14x + 6y + z - 1 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano H é:
-14x + 6y + z - 1 = 0

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