Determine a equação para o plano osculador à curva obtida pela interseção entre o cilindro e a superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano osculador à curva que resulta da interseção entre o cilindro e a superfície , no ponto específico .
Matéria envolvida:
Geometria analítica: planos, curvas e cilindros.
Cálculo vetorial: derivadas de curvas para encontrar vetores tangentes e normais.
Vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam para formar uma curva e, depois, utilizar cálculos para achar o plano osculador nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva de interseção dessas duas superfícies. Temos:
O cilindro é uma superfície circular com raio 1, estendida ao longo do eixo z.
A superfície é um plano inclinado que corta o cilindro.
Para encontrar a curva de interseção, vamos expressar z em termos de y a partir da segunda equação:
Agora, a curva de interseção é dada por e .
Passo 3
Em seguida, para achar o plano osculador, precisamos de duas coisas principais:
Vetor tangente à curva no ponto .
Vetor normal ao plano osculador.
O plano osculador é aquele que melhor “aproxima” a curva nesse ponto, incorporando a direção de curvatura.
Passo 4
Primeiro, vamos parametrizar a curva de interseção. Podemos usar o parâmetro para representar o ângulo no cilindro:
Agora, a curva é parametrizada por . Queremos encontrar o valor de que corresponde ao ponto :
Então, é o parâmetro correspondente ao ponto dado.
Passo 5
Vamos encontrar os vetores derivadas da parametrização em relação a :
Primeira derivada (vetor tangente):
No ponto :
Então, o vetor tangente é .
Passo 6
Agora, encontramos a segunda derivada para obter a vetor de curvatura:
Segunda derivada:
No ponto :
Então, o vetor de curvatura é .
Passo 7
Para encontrar o vetor normal ao plano osculador, usamos o produto vetorial entre o vetor tangente e o vetor de curvatura :
Calculando:
N = (0)i - (0 - 1)j + (0 + 1)k
N = 0i + j + k
N = (0, 1, 1)
Passo 8
Com o vetor normal N = (0, 1, 1) e o ponto (1, 0, 2), podemos usar a equação do plano: