Questão 3
Determine a equação para o plano osculador à curva obtida pela interseção entre o cilindro x^2+y^2=1 e a superfície z+y=2 no ponto (1,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano osculador à curva que resulta da interseção entre o cilindro x^2 + y^2 = 1 e a superfície z + y = 2, no ponto específico (1, 0, 2).
Matéria envolvida:
  • Geometria analítica: planos, curvas e cilindros.
  • Cálculo vetorial: derivadas de curvas para encontrar vetores tangentes e normais.
Vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam para formar uma curva e, depois, utilizar cálculos para achar o plano osculador nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva de interseção dessas duas superfícies. Temos:
  1. O cilindro x^2 + y^2 = 1 é uma superfície circular com raio 1, estendida ao longo do eixo z.
  2. A superfície z + y = 2 é um plano inclinado que corta o cilindro.
Para encontrar a curva de interseção, vamos expressar z em termos de y a partir da segunda equação:
z = 2 - y
Agora, a curva de interseção é dada por x^2 + y^2 = 1 e z = 2 - y.

Passo 3

Em seguida, para achar o plano osculador, precisamos de duas coisas principais:
  1. Vetor tangente à curva no ponto (1, 0, 2).
  2. Vetor normal ao plano osculador.
O plano osculador é aquele que melhor “aproxima” a curva nesse ponto, incorporando a direção de curvatura.

Passo 4

Primeiro, vamos parametrizar a curva de interseção. Podemos usar o parâmetro theta para representar o ângulo no cilindro:
x = costheta
y = sintheta
z = 2 - sintheta
Agora, a curva é parametrizada por theta. Queremos encontrar o valor de theta que corresponde ao ponto (1, 0, 2):
x = costheta = 1 Rightarrow theta = 0
y = sintheta = 0
z = 2 - sintheta = 2
Então, theta = 0 é o parâmetro correspondente ao ponto dado.

Passo 5

Vamos encontrar os vetores derivadas da parametrização em relação a theta:
Primeira derivada (vetor tangente):
dxdtheta = -sintheta
dydtheta = costheta
dzdtheta = -costheta
No ponto theta = 0:
dxdtheta = 0
dydtheta = 1
dzdtheta = -1
Então, o vetor tangente T é (0, 1, -1).

Passo 6

Agora, encontramos a segunda derivada para obter a vetor de curvatura:
Segunda derivada:
d^2xdtheta^2 = -costheta
d^2ydtheta^2 = -sintheta
d^2zdtheta^2 = sintheta
No ponto theta = 0:
d^2xdtheta^2 = -1
d^2ydtheta^2 = 0
d^2zdtheta^2 = 0
Então, o vetor de curvatura C é (-1, 0, 0).

Passo 7

Para encontrar o vetor normal ao plano osculador, usamos o produto vetorial entre o vetor tangente T e o vetor de curvatura C:
N = T times C
Calculando:
N = i & j & k 0 & 1 & -1 -1 & 0 & 0 = (1 cdot 0 - (-1) cdot 0)i - (0 cdot 0 - (-1) cdot (-1))j + (0 cdot 0 - 1 cdot (-1))k
N = (0)i - (0 - 1)j + (0 + 1)k
N = 0i + j + k
N = (0, 1, 1)

Passo 8

Com o vetor normal N = (0, 1, 1) e o ponto (1, 0, 2), podemos usar a equação do plano:
N cdot (X - X0) = 0
Onde X = (x, y, z) e X0 = (1, 0, 2).
Substituindo:
0(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 2) = 0
y + z - 2 = 0

Resposta

A equação do plano osculador é y + z - 2 = 0.

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