Encontre a equação da circunferência. Encontre as coordenadas do centro e o raio. Faça um desenho da curva.
3 x^{2}+3 y^{2}-4 x+8 y=0

Passo 1

Temos a equação da circunferência na forma geral e o objetivo de convertê-la para a forma padrão (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 completando o quadrado.

Passo 2

Dividimos ambos os lados de
3x^2 + 3y^2 - 4x + 8y = 0
por 3:
x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}y = 0

Passo 3

Agrupamos termos em x e completamos o quadrado:
x^2 - \frac{4}{3}x = \Bigl(x - \tfrac{2}{3}\Bigr)^2 - \frac{4}{9}

Passo 4

Agrupamos termos em y e completamos o quadrado:
y^2 + \frac{8}{3}y = \Bigl(y + \tfrac{4}{3}\Bigr)^2 - \frac{16}{9}

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação simplificada:
\Bigl(x - \tfrac{2}{3}\Bigr)^2 - \frac{4}{9} + \Bigl(y + \tfrac{4}{3}\Bigr)^2 - \frac{16}{9} = 0
\Bigl(x - \tfrac{2}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(y + \tfrac{4}{3}\Bigr)^2 = \frac{4}{9} + \frac{16}{9} = \frac{20}{9}

Passo 6

Comparando com a forma padrão (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, identificamos
h = \frac{2}{3},\quad k = -\frac{4}{3},\quad r = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}.

Passo 7

O esboço da curva é um círculo de centro \bigl(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{4}{3}\bigr) e raio \tfrac{2\sqrt{5}}{3}. Basta marcar o centro no plano e traçar pontos a essa distância em diversas direções para desenhar a circunferência.

Resposta

Equação em forma padrão:
\bigl(x - \tfrac{2}{3}\bigr)^2 + \bigl(y + \tfrac{4}{3}\bigr)^2 = \frac{20}{9}
Centro: \bigl(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{4}{3}\bigr).
Raio: \tfrac{2\sqrt{5}}{3}.

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