Encontre uma equação que descreva a cônica que contém os pontos: X=(0,0), Y=(2,0), Z=(0,2), W=(2,2) e V=(1 / 3,1). Identifique essa cônica.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma cônica qualquer que passe pelos pontos
X=(0,0),;Y=(2,0),;Z=(0,2),;W=(2,2),;V=l(tfrac13,1r)
O conteúdo é “equação geral da cônica” e vamos usar o fato de que a forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
tem 6 coeficientes mas só importa até uma constante de escala, logo 5 graus de liberdade que serão fixados pelos 5 pontos.

Passo 2

Usamos cada ponto para obter uma equação linear nos coeficientes. Em X=(0,0) temos
Acdot0^2 + Bcdot0cdot0 + Ccdot0^2 + Dcdot0 + Ecdot0 + F = 0 Longrightarrow F=0
Em Y=(2,0) e em Z=(0,2) obtemos
4A + 2D + F = 0 Longrightarrow 4A + 2D = 0,
4C + 2E + F = 0 Longrightarrow 4C + 2E = 0

Passo 3

Em W=(2,2) obtemos
4A + 4B + 4C + 2D + 2E + F = 0
Substituindo F=0, 2D = -4A (da equação anterior) e 2E = -4C, fica
4A + 4B + 4C -4A -4C = 4B = 0 Longrightarrow B=0

Passo 4

Agora utilizamos V=(tfrac13,1). A equação geral vira
A!l(tfrac13r)^2 + 0cdottfrac13cdot1 + Ccdot1^2 + D!l(tfrac13r) + Ecdot1 = 0
Como D=-2A e E=-2C, substituímos e obtemos
A!l(tfrac19r) + C - tfrac2A3 - 2C = 0 ;Longrightarrow; -tfrac5A9 - C = 0 ;Longrightarrow; C = -tfrac5A9

Passo 5

Podemos escolher A=9 (escala livre) para eliminar frações. Então
A=9, B=0, C=-5, D=-2A=-18, E=-2C=10, F=0
A equação da cônica é
9x^2 - 5y^2 - 18x + 10y = 0

Passo 6

Para identificar a cônica, observamos que os coeficientes de x^2 e de y^2 têm sinais opostos. Isso caracteriza uma hipérbole.

Resposta

A equação da cônica é
9x^2 - 5y^2 - 18x + 10y = 0
e trata-se de uma hipérbole.

Exercícios relacionados