Encontre uma equação que descreva a cônica que contém os pontos:
e
. Identifique essa cônica.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma cônica qualquer que passe pelos pontos
O conteúdo é “equação geral da cônica” e vamos usar o fato de que a forma geral
tem 6 coeficientes mas só importa até uma constante de escala, logo 5 graus de liberdade que serão fixados pelos 5 pontos.
Passo 2
Usamos cada ponto para obter uma equação linear nos coeficientes. Em
temos
Em
e em
obtemos
Passo 3
Em
obtemos
Substituindo
,
(da equação anterior) e
, fica
Passo 4
Agora utilizamos
. A equação geral vira
Como
e
, substituímos e obtemos
Passo 5
Podemos escolher
(escala livre) para eliminar frações. Então
A equação da cônica é
Passo 6
Para identificar a cônica, observamos que os coeficientes de
e de
têm sinais opostos. Isso caracteriza uma hipérbole.
Resposta
A equação da cônica é
e trata-se de uma hipérbole.