Suponha que A=[ai j] é uma matriz quadrada de ordem 4 , tal que det A=-7 e calcule:
|rrrr2 a14 & a34 & a44 & a24 -2 a12 & -a32 & -a42 & -a22 2 a13 & a33 & a43 & a23 2 a11 & a31 & a41 & a21|.

Passo 1

O enunciado fornece uma matriz quadrada A=(aij) de ordem 4 com det A=-7, e pede o determinante da matriz
M = 2a14 & a34 & a44 & a24 [6pt] -2a12 & -a32 & -a42 & -a22 [6pt] 2a13 & a33 & a43 & a23 [6pt] 2a11 & a31 & a41 & a21
O conteúdo utilizado será propriedades de determinante: trânsito à transposta, permutações de linhas e colunas e multiplicação por escalares.]

Passo 2

Definimos B = A^T. Observa-se que M se obtém de B aplicando-se em sequência:
1. permutação de linhas pela matriz P que troca a 1ª e 4ª linha (transposição de posto par det P=-1);
2. multiplicação da 2ª linha por -1 via D=diag(1,-1,1,1) (logo det D=-1);
3. permutação de colunas pela matriz P0 que reordena (1,2,3,4)mapsto(1,3,4,2) ( 3-ciclo, det P0=+1);
4. multiplicação da 1ª coluna por 2 via E=diag(2,1,1,1) (logo det E=2).
Assim
M = D,P,B,P0,E ;=; D,P,A^T,P0,E

Passo 3

Usamos as propriedades
det(XYZ)=det X;det Y;det Z, det(A^T)=det A,
e já temos
det D=-1,
det P=-1,
det(A^T)=det A=-7,
det P0=+1,
det E=2.

Passo 4

Portanto
det M = det(D),det(P),det(A^T),det(P0),det(E) = (-1)cdot(-1)cdot(-7)cdot(+1)cdot2 = -14

Resposta

-14

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