Escreva a equação da parábola de diretriz dada por x=-1 e com o foco em (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cuja diretriz é a reta x=-1 e cujo foco é o ponto (1,1). Vamos usar o fato de que a parábola é o lugar geométrico dos pontos que têm distância igual do foco e da diretriz.

Passo 2

Seja (x,y) um ponto genérico da parábola.
A distância de (x,y) ao foco (1,1) é
raiz(x-1)^2 + (y-1)^2,
e a distância de (x,y) à diretriz x=-1 é
l|x - (-1)r| = |x+1|
Igualamos essas duas distâncias:
raiz(x-1)^2 + (y-1)^2 = |x+1|

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
(x-1)^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2
Expandindo e simplificando:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1
-2x + y^2 - 2y + 2 = 2x + 1
y^2 - 2y + 2 - 2x - 2x -1 = 0
y^2 - 2y -4x +1 = 0

Passo 4

Reescrevendo em forma de vértice, complete o quadrado em y:
y^2 - 2y +1 =4x
(y-1)^2 =4x
Aqui o vértice é (0,1) e o foco fica a uma distância p=1 à direita, conferindo com (1,1).

Resposta

(y-1)^2 =4x

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