Escreva a equação da parábola de diretriz dada por e com o foco em .
Passo 1
O enunciado pede a equação da parábola cuja diretriz é a reta e cujo foco é o ponto . Vamos usar o fato de que a parábola é o lugar geométrico dos pontos que têm distância igual do foco e da diretriz.
Passo 2
Seja um ponto genérico da parábola.
A distância de ao foco é
e a distância de à diretriz é
Igualamos essas duas distâncias:
raiz(x-1)^2 + (y-1)^2 = |x+1|
Passo 3
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
(x-1)^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2
Expandindo e simplificando:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1
-2x + y^2 - 2y + 2 = 2x + 1
y^2 - 2y + 2 - 2x - 2x -1 = 0
y^2 - 2y -4x +1 = 0
Passo 4
Reescrevendo em forma de vértice, complete o quadrado em y:
y^2 - 2y +1 =4x
(y-1)^2 =4x
Aqui o vértice é (0,1) e o foco fica a uma distância p=1 à direita, conferindo com (1,1).