Sejam
e
matrizes ortogonais. Prove que:
também é uma matriz ortogonal.
Passo 1
Então, a gente tem duas matrizes,
e
, que são ortogonais. A questão quer que a gente prove que a inversa da matriz
, ou seja,
, também é uma matriz ortogonal. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes ortogonais e suas propriedades, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz
é chamada de ortogonal se ela satisfaz a condição:
Aqui,
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Basicamente, isso quer dizer que quando você multiplica a matriz pela sua transposta, você obtém a identidade.
Passo 3
Agora, como
é ortogonal, pela definição temos:
Isso também significa que a transposta de
é igual à sua inversa, ou seja:
Então, a inversa de
é simplesmente a sua transposta.
Passo 4
Para provar que
é ortogonal, precisamos mostrar que:
Vamos calcular isso usando o que já sabemos.
Passo 5
Sabemos que
, então substituindo na equação:
A transposta da transposta de
retorna a própria matriz
, então:
Portanto, temos:
E sabemos, pela definição de matriz ortogonal, que
também, confirmando que:
Resposta
Assim, provamos que
é uma matriz ortogonal.