Sejam A e B matrizes ortogonais. Prove que:
A^-1 também é uma matriz ortogonal.

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes, A e B, que são ortogonais. A questão quer que a gente prove que a inversa da matriz A, ou seja, A^-1, também é uma matriz ortogonal. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes ortogonais e suas propriedades, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz A é chamada de ortogonal se ela satisfaz a condição:
A^T A = I
Aqui, A^T é a transposta de A e I é a matriz identidade. Basicamente, isso quer dizer que quando você multiplica a matriz pela sua transposta, você obtém a identidade.

Passo 3

Agora, como A é ortogonal, pela definição temos:
A^T A = I
Isso também significa que a transposta de A é igual à sua inversa, ou seja:
A^-1 = A^T
Então, a inversa de A é simplesmente a sua transposta.

Passo 4

Para provar que A^-1 é ortogonal, precisamos mostrar que:
(A^-1)^T A^-1 = I
Vamos calcular isso usando o que já sabemos.

Passo 5

Sabemos que A^-1 = A^T, então substituindo na equação:
(A^-1)^T A^-1 = (A^T)^T A^T
A transposta da transposta de A retorna a própria matriz A, então:
(A^T)^T = A
Portanto, temos:
A A^T = I
E sabemos, pela definição de matriz ortogonal, que A A^T = I também, confirmando que:

Resposta

Assim, provamos que A^-1 é uma matriz ortogonal.

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