Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
y(t)=c1 3^t+c2 5^t

Passo 1

O enunciado nos dá que a solução geral é
y(t)=c1,3^t+c2,5^t
Isso sugere uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, cuja equação característica tenha raízes que gerem exatamente esses termos exponenciais.

Passo 2

Observamos que
3^t=e^tln3 e 5^t=e^tln5,
ou seja, as raízes da equação característica devem ser
r1=ln3 e r2=ln5

Passo 3

A equação característica que tem raízes r1 e r2 é
(r - ln3)(r - ln5)=0
ou seja,
r^2 - (ln3+ln5),r + (ln3)(ln5)=0

Passo 4

A EDO de segunda ordem correspondente a essa característica é
y'' - (ln3+ln5),y' + (ln3,ln5),y = 0

Resposta

y'' - (ln3+ln5),y' + (ln3,ln5),y = 0

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