Verifique se as funções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Elas são soluções fundamentais?
t y^prime prime-(1+t) y^prime+y=0 ; y1(t)=1+t, y2(t)=e^t, onde t>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
y1(t)=1+t, y2(t)=e^t
satisfazem a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea
t,y''-(1+t),y'+y=0, t>0,
e depois checar se elas são soluções fundamentais, ou seja, se são linearmente independentes num intervalo em que os coeficientes são contínuos (aqui em (0,infty)). Vamos precisar calcular y' e y'' de cada função, fazer a substituição na equação e, em seguida, calcular o wronskiano para testar independência.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y1(t)=1+t:
y1'(t)=1, y1''(t)=0
Substituindo na equação diferencial:
tcdot0 - (1+t)cdot1 + (1+t) = - (1+t) + (1+t) =0
Logo, ,y1 satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora as derivadas de y2(t)=e^t:
y2'(t)=e^t, y2''(t)=e^t
Substituindo:
t,e^t - (1+t),e^t + e^t = l(t -1 -t +1r)e^t =0
Portanto, ,y2 também é solução da equação.

Passo 4

Para verificar se são soluções fundamentais, calculamos o wronskiano
W(t)= y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t) = 1+t & e^t 1 & e^t =(1+t)e^t-e^tcdot1 =t,e^t
Como em t>0 temos t,e^tneq0, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Resposta

As duas funções são soluções da equação diferencial e, como o wronskiano é não nulo em (0,infty), formam um conjunto fundamental de soluções.

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