Verifique se as funções e são soluções da equação diferencial dada. Elas são soluções fundamentais? , onde
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
satisfazem a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea
e depois checar se elas são soluções fundamentais, ou seja, se são linearmente independentes num intervalo em que os coeficientes são contínuos (aqui em ). Vamos precisar calcular e de cada função, fazer a substituição na equação e, em seguida, calcular o wronskiano para testar independência.
Passo 2
Calculemos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Logo, satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora as derivadas de :
Substituindo:
Portanto, também é solução da equação.
Passo 4
Para verificar se são soluções fundamentais, calculamos o wronskiano
Como em t>0 temos t,e^tneq0, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Resposta
As duas funções são soluções da equação diferencial e, como o wronskiano é não nulo em (0,infty), formam um conjunto fundamental de soluções.