Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
y(t)=c1 e^-t cos t+c2 e^-t sen t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral é
y(t)=c1e^-tcos t + c2e^-tsin t
O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e raízes complexas na equação característica.

Passo 2

Note que as duas soluções independentes têm a forma
e^alpha tcos(beta t)e e^alpha tsin(beta t),
onde alpha=-1 e beta=1. Isso implica que as raízes da equação característica são
r=alphapm ibeta = -1pm i

Passo 3

A equação característica associada a raízes r1=-1+i e r2=-1-i é
(r - r1)(r - r2) = l(r -(-1+i)r)l(r -(-1-i)r) = (r+1 - i)(r+1 + i)
Expandindo, obtemos
(r+1)^2 + 1 = r^2 + 2r + 1 + 1 = r^2 + 2r + 2 = 0
Portanto, a EDO correspondente é
y'' + 2y' + 2y = 0

Resposta

A equação diferencial cuja solução geral é y(t)=c1e^-tcos t + c2e^-tsin t é
y'' + 2y' + 2y = 0

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