Resolva o problema de valor inicial
5 y^prime prime+y^prime-4 y=0 ; y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
5,y'' + y' - 4,y = 0,
sujeita a
y(0)=0, y'(0)=1
Para isso, vamos formar a equação característica, achar suas raízes, montar a solução geral e então determinar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Associamos à EDO a equação característica trocando ymapsto e^r t:
5,r^2 + r - 4 = 0
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
r = -1 pm raiz1 + 802cdot 5 = -1 pm 910
Logo as raízes são
r1 = 810 = 45, r2 = -1010 = -1

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^45t + C2 e^-t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada:
y'(t) = 45,C1 e^45t - C2 e^-t
Em t=0 isso dá
y(0) = C1 + C2 = 0, y'(0) = 45,C1 - C2 = 1

Passo 5

Do sistema
C1 + C2 = 0, 45,C1 - C2 = 1,
da primeira equação vem C2 = -C1. Substituindo na segunda:
45,C1 - (-C1) = 45C1 + C1 = 95C1 = 1 Longrightarrow C1 = 59,
logo
C2 = -59

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(t) = 59,e^45t - 59,e^-t = 59l(e^45t - e^-tr)

Resposta

y(t) = 59l(e^tfrac45t - e^-tr)

Exercícios relacionados