Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
sujeita a
Para isso, vamos formar a equação característica, achar suas raízes, montar a solução geral e então determinar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Associamos à EDO a equação característica trocando
:
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
Logo as raízes são
Passo 3
Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada:
Em
isso dá
Passo 5
Do sistema
da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
logo
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos